Лекція 8 метод проекцій
1. Метод ортогонального проектування
4. Запитання і завдання
Метод ортогонального проектування
Якщо інформацію про відстань точки відносно площини проекції дати не за допомогою числової позначки, а за допомогою другої проекції точки, побудованої на другий площині проекцій, то креслення називають двухкартінним або комплексним. Основні принципи побудови таких креслень викладені Гаспаром Монжем - великим французьким геометром кінця 18, початку 19 століть, 1789-1818 рр. одним із засновників знаменитої політехнічної школи в Парижі і учасником робіт по введенню метричної системи мір і ваг.
Викладений Монжем метод ортогонального проектування на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій був і залишається основним методом складання технічних креслень.
Відповідно до методу запропонованим Г. Монжем розглянемо в просторі дві взаємно перпендикулярні площини проекцій.
Одну з площин проекцій П1 розташовують горизонтально, а другу П2 - вертикально. П1 - горизонтальна площина проекцій, П2 - фронтальна. Площині нескінченні і непрозорі.
Площині проекцій ділять простір на чотири двогранні кута - чверті. Розглядаючи ортогональні проекції, припускають, що спостерігач перебуває в першій чверті на нескінченно великій відстані від площин проекцій (рис. 89).
Лінія перетину площин проекцій називається віссю координат і позначається x21.
Так як ці площині непрозорі, то видимими для спостерігача будуть тільки ті геометричні об'єкти, які розташовуються в межах тієї ж першої чверті.
Щоб отримати плоский креслення, що складається із зазначених проекцій, площину П1 поєднують обертанням навколо осі x12 з площиною П2. Проекційний креслення, на якому площини проекцій з усім тим, що на них зображено, суміщені певним чином одна з іншого, називається епюр Монжа або комплексним кресленням.
Геометричні об'єкти діляться на: лінійні (точка, пряма, площина), нелінійні (крива лінія, поверхня) і складені (багатогранники, одномірні і двовимірні обводи).
Геометричний об'єкт будь-якої складності можна розглядати як геометричне місце точок, по взаємному розташуванню, яких можна скласти уявлення про об'єкт, а по розташуванню їх щодо системи координат можна судити про стан його в просторі.
Точка - одне з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії точка зазвичай приймається за одне з вихідних понять.
Точка в ортогональній системі двох площин проекцій
При побудові проекції необхідно пам'ятати, що ортогональної проекцією точки на площину є підстава перпендикуляра, опущеного з даної точки на дану площину. Для точки А її ортогональні проекції A1 і А2, які називають відповідно горизонтальній і фронтальній проекціями.
Прямі лінії, що з'єднують різнойменні проекції точки на епюрі, називаються лініями проекційної зв'язку.
Точка в ортогональній системі трьох площин проекцій
У практиці зображення різних геометричних об'єктів, щоб зробити креслення більш ясним, виникає необхідність використовувати третю - профільну площину проекцій П3, розташовану перпендикулярно до П1 ІП2. Площині проекцій П1. П2 і П3 є основними площинами проекцій (рис. 91).
Проекції точок на цю площину позначаються прописними буквами латинського алфавіту або цифрами з індексом 3.
Площині проекцій, попарно перетинаючись, визначають три осі Ох. Оу і Oz, які можна розглядати як систему декартових координат в просторі з початком в точці 0.
Для отримання епюра точки в системі трьох площин проекцій площині П1 і П3 обертають, до суміщення з площиною П2. При позначенні осей на епюрі негативні півосі зазвичай не вказують. Якщо істотно тільки саме зображення предмета, а не його положення щодо площин проекцій, то осі на епюрі не показують (рис. 92).
У тривимірному просторі положення точки встановлюють за допомогою прямокутних декартових коордінатх, у і z (абсциса, ордината і аппликата).
Сформулюємо основні властивості ортогональних проекцій на прикладі точки:
1. Дві проекції точки визначають її положення в просторі.
2. Дві проекції точки лежать на одній лінії зв'язку.
3. За двох проекціях точки можна побудувати третю.
Пряма лінія - одне з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії пряма лінія звичайно приймається за одне з вихідних понять, яке лише непрямим чином визначається аксіомами геометрії. Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити як лінію, уздовж якої відстань між двома точками є найкоротшим.
Пряма лінія - алгебраїчна лінія першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія задається на площині рівнянням 1 - го ступеня (лінійне рівняння).
Загальне рівняння прямої (повне): Ах + Ву + С = 0,
де А, В і С - будь-які постійні, причому А і В одночасно не рівні нулю. Якщо один з коефіцієнтів дорівнює нулю, рівняння називається неповним.
Способи графічного завдання прямої лінії
2. Двома площинами (а; b).
3. Двома проекціями.
4. Точкою і кутами нахилу до площин проекцій.
Положення прямої лінії щодо площин проекцій
Пряма по відношенню до площин проекцій вона може займати як загальне, так і приватні положення.
1. прямо не паралельна ні одній площині проекцій називається прямий загального положення.
2. Прямі паралельні площинам проекцій, займають приватна положення в просторі і називаються прямиміуровня. Залежно від того, якій площині проекцій паралельна задана пряма, розрізняють:
2.1. Прямі паралельні фронтальній площині проекцій називаються фронтальними або Фронтале - n.
2.2. Прямі паралельні горизонтальній площині проекцій називаються горизонтальними або горизонталями - m.
2.3. Прямі паралельні профільній площині проекцій називаються профільними - р.
3. Прямі перпендикулярні площинах проекцій, займають приватна положення в просторі і називаються проектується. Пряма перпендикулярна одній площині проекцій, паралельна двом іншим. Залежно від того, якій площині проекцій перпендикулярна досліджувана пряма, розрізняють:
3.1. Горизонтально проектує пряма - m.
3.2. Фронтально проектує пряма - n.
3.3. Профільно проектує пряма - р (рис. 93).