Лекція 2 1

називають прямим перетворенням Фур'є. Функція кутовий частоти # 150; називається Фур'є-зображенням або частотним спектром функції. Спектр характеризує співвідношення амплітуд і фаз нескінченної кількості нескінченно малих синусоїдальних компонент, складових в сумі неперіодична сигнал. Операція перетворення Фур'є математично записується в такий спосіб:

де - символ прямого перетворення Фур'є.

Спектри в теорії автоматичного управління представляють графічно, зображуючи окремо їх дійсну і уявну частини:

На рис. 1 представлено типове зображення спектра непериодического сигналу.

Відзначимо наступні особливості спектра неперіодичної функції:

Спектр неперіодичної функції часу безперервний;

Область допустимих значень аргументу спектра

Дійсна частина спектра # 150; парна функція частоти, уявна частина спектра # 150; непарна функція, що дозволяє використовувати одну половину спектра

Перетворення Фур'є можна зупинити, тобто, знаючи Фур'є-зображення, можна визначити вихідну функцію # 150; оригінал. Співвідношення зворотного перетворення Фур'є має наступний вигляд:

або в скороченій записи, де - символ зворотного перетворення Фур'є. Зауважимо, що тимчасова функція має перетворення Фур'є тоді і тільки тоді, коли:

функція однозначна, містить кінцеве число максимумів, мінімумів і розривів;

функція абсолютно інтегровна, тобто

Зворотне перетворення Фур'є можливо тільки в тому випадку, якщо всі полюси - ліві.

Розглянемо приклади визначення спектра тимчасових функцій.

Знайдемо частотний спектр дельта-функції.

У підсумку, має одиничний, рівномірний і не залежить від частоти дійсний спектр, а уявна частина спектра буде дорівнює нулю (див. Рис.2).

Знайдемо частотний спектр одиничної ступінчастої функції.

Для цієї функції не виконується вимога абсолютної інтегрованості, так як

Тому Фур'є-зображення не має.

називають прямим перетворенням Лапласа. Комплексна змінна називається оператором Лапласа, де - кутова частота, - деяке позитивне постійне число. Функція комплексної змінної називається зображенням сигналу по Лапласа. Операція визначення зображення за оригіналом скорочено записується -, де - символ прямого перетворення Лапласа.

Перетворення Лапласа можна зупинити, тобто, знаючи зображення по Лапласа, можна визначити оригінал, використовуючи співвідношення зворотного перетворення

або, де - символ зворотного перетворення Лапласа.

Відзначимо, що перетворення Лапласа зображує вихідну функцію лише при, а поведінка вихідної функції при ніяк не позначається на зображенні. Клас функцій, перетворюються по Лапласа, значно ширше класу функцій, що перетворюються за Фур'є. Практично будь-які функції часу в ТАУ мають перетворення Лапласа.

Отримаємо зображення по Лапласа для імпульсних функцій.

На практиці для виконання прямого і зворотного перетворень Лапласа використовуються таблиці перетворень, фрагмент якої показаний в табл. 1.

Таблиці перетворення Лапласа можуть бути використані для визначення Фур'є-зображень таких абсолютно інтегрованих функцій, які дорівнюють 0 при. Для отримання Фур'є-зображень в цьому випадку досить покласти в зображенні по Лапласа. У загальному вигляді це виглядає як

Розглянемо формулювання основних теорем перетворення Лапласа, які широко використовуються в ТАУ.

Теорема лінійності. Будь-яке лінійне співвідношення між функціями часу справедливо і для зображень по Лапласа цих функцій;

Теорема про диференціюванні оригіналу.

де - початкове значення оригіналу.

Для другої похідної використовують вираз

Для похідною -го порядку справедливо наступне співвідношення:

Для похідною -го порядку при нульових початкових умовах справедливо наступне співвідношення:

тобто диференціювання ступеня оригіналу за часом при нульових початкових умовах відповідає множенню зображення на.

Теорема про інтегрування оригіналу.

В області зображень по Лапласа складні операції диференціювання і інтегрування зводяться до операцій множення і ділення на, що дозволяє переходити від диференціальних і інтегральних рівнянь до алгебраїчних. Це є головною перевагою перетворення Лапласа як математичного апарату теорії автоматичного управління.

Теорема запізнювання. Для будь-якого справедливо співвідношення

Теорема про згортку (множенні зображень).

Теорема про граничні значення. Якщо то

Для знаходження оригіналу функції по її зображенню використовують зворотне перетворення Лапласа. Функцію зображення необхідно представити в формі Хевісайта, скориставшись необхідної формулою розкладання дрібно-раціональної функції. Отриману суму найпростіших дробів піддають зворотному перетворенню Лапласа. Для цього можна скористатися таблицями перетворення Лапласа, які визначають зображення багатьох тимчасових функцій. Фрагмент таблиці перетворення Лапласа наведено в табл. 1. У тих випадках, коли є комплексно-зв'язані полюси зображення, необхідно перетворити відповідні найпростіші дроби до вигляду, зручного для використання таблиці перетворення Лапласа. Істотно полегшує перетворення використання персонального комп'ютера з пакетами математичних програм, що містять функції прямого і зворотного перетворень Лапласа.

Визначимо оригінал по зображенню у вигляді дрібно-раціональної функції

Використовуємо розкладання Хевісайта для дрібно-раціональної функції з одним нульовим полюсом. тоді

Коефіцієнти розкладання мають вигляд

Зображення в формі Хевісайта має вигляд

Використовуємо теорему про лінійність і таблицю перетворень до кожного доданку, в результаті отримуємо

Графік функції оригіналу має вигляд, показаний на рис. 3.

Коротко пояснимо алгоритм розв'язання диференціальних рівнянь операційним методом на прикладі рішення диференціального рівняння 2 порядки в загальному вигляді

Застосуємо теорему про диференціюванні для знаходження зображень похідних

Отримаємо операторний рівняння, використовуючи теорему лінійності

Вирішуємо рівняння щодо,

Знайдемо, використовуючи перехід до форми Хевісайта (розкладання Хевісайта)

Особливо слід звернути увагу на отримання зображення похідної ступінчастою одиничної функції, яка визначається наступним чином:

то виходить помилкове рішення, тому слід використовувати звані "ліві" початкові умови

Справедливість цього можна легко перевірити підстановкою рішення у вихідне диференціальне рівняння.

Контрольні питання і завдання

Які обмеження накладаються на пряме і зворотне перетворення Фур'є?

Як за допомогою таблиць перетворення Лапласа отримати частотний спектр реального сигналу # 150; неперіодичної функції часу?

Якщо зображення по Лапласа має вигляд дрібно-раціональною функції, в якій формі її зручніше представляти для отримання оригіналу, в формі Боде або в формі Хевісайта?

Визначте оригінал наступного зображення по Лапласа