Коріння з одиниці - це
Уявімо комплексну одиницю в тригонометричному вигляді:
Тут - корінь з одиниці.
Коріння з одиниці можуть також бути представлені в показовою формі:
З цих формул випливає, що коріння з одиниці завжди рівно, і всі вони різні.
геометричні властивості
- Модуль кожного кореня дорівнює 1. На комплексній площині коріння з одиниці утворюють вершини правильного багатокутника. вписаного в одиничну окружність. Однією з вершин завжди є комплексна одиниця.
- Якщо - корінь з одиниці, то зв'язане до нього число - теж корінь з одиниці.
- Нехай M - довільна точка одиничному колі. Тоді сума квадратів відстаней від M до всіх коренів з одиниці дорівнює 2n.
алгебраїчні властивості
- Коріння з одиниці являють собою цілі алгебраїчні числа.
- Коріння з одиниці утворюють по множенню групу. Зворотний елемент для кожного елемента цієї групи збігається з сполученим йому. Зокрема, будь-яка ціла ступінь кореня з одиниці теж є коренем з одиниці.
- Група коренів з одиниці ізоморфна аддитивной групі класів відрахувань. Звідси випливає, що вона є циклічною групою; в якості породжує (первісної) можна взяти будь-який елемент, індекс якого взаємно простий з.
- наслідки:
- елемент завжди є первісним;
- якщо - просте число. то ступеня будь-якого кореня, крім, охоплюють всю групу;
- число первісних коренів одно, де - функція Ейлера.
- наслідки:
- Якщо, то для суми ступенів будь-якого первообразного кореня з одиниці має місце формула:
Кубічні корені з одиниці
Кубічні корені з одиниці:
Коріння 4-го ступеня з одиниці:
Для кореня 5-го ступеня є 4 породжують елементи:
Для кореня 6-го ступеня породжують елементів тільки два:
кругові поля
Круговий поле. або поле розподілу кола ступеня n (англ. Cyclotomic field) - це поле, породжене приєднанням до поля раціональних чисел первообразного кореня n-го ступеня з одиниці. Круговий поле є підполем поля комплексних чисел; воно містить всі корені n-го ступеня з одиниці, а також результати арифметичних дій над ними.
Дослідження кругових полів зіграло значну роль в створенні і розвитку теорії цілих алгебраїчних чисел. теорії чисел і теорії Галуа.
Приклад: складається з комплексних чисел виду, де - раціональні числа.
Теорема Кронекера-Вебера. всяке абелева кінцеве розширення поля раціональних чисел міститься в деякому круговому полі.
література
Дивитися що таке "Коріння з одиниці" в інших словниках:
Біблійні грошові одиниці - «Вигнання торговців із храму». Микола Хабершрак, середина XV століття Біблійні грошові одиниці близькосхідні, давньогрецькі, давньоримські і інші ... Вікіпедія
Частинні одиниці - Приставки СІ (десяткові приставки) приставки перед назвами або позначеннями одиниць вимірювання фізичних величин, що застосовуються для формування кратних і часткових одиниць, що відрізняються від базової в певне ціле, що є ступенем числа ... ... Вікіпедія
Кратні одиниці - Приставки СІ (десяткові приставки) приставки перед назвами або позначеннями одиниць вимірювання фізичних величин, що застосовуються для формування кратних і часткових одиниць, що відрізняються від базової в певне ціле, що є ступенем числа ... ... Вікіпедія
Галуа ТЕОРІЯ - в найбільш загальному сенсі теорія, що вивчає ті чи інші математичного. об'єкти на основі їх груп автоморфізмів. Так, напр. можливі Г. т. полів, кілець, топологіч. просторів і т. п. У більш вузькому сенсі під Р. т. розуміється Г. т. полів. Виникла ця ... Математична енциклопедія
Звичайно ГРУПИ ПОДАННЯ - гомоморфізм кінцевої групи Gв групу оборотних лінійних операторів в векторному просторі над полем К. Теорія К ... Математична енциклопедія
Ціле число алгебри - Цілими алгебраїчними числами називаються комплексні (і зокрема речові) корені многочленів з цілими коефіцієнтами і зі старшим коефіцієнтом, рівним одиниці. По відношенню до складання і множення комплексних чисел, цілі алгебраїчні ... ... Вікіпедія
Галуа ПОЛЕ - кінцеве поле, поле, число елементів до якого звичайно. Г. п. Вперше розглядалося Е. Галуа (Е. Galois, см. [1], с. 35 47). Число елементів будь-якого Г. п. Є ступінь недо якого натурального простого числа. що є характеристикою цього поля. ... ... Математична енциклопедія
Гаусс, Карл Фрідріх - Цей термін має також інші значення див. Гаусс. Карл Фрідріх Гаус Carl Friedrich Gauß ... Вікіпедія
Швидке перетворення Фур'є - (БПФ, FFT) це алгоритм швидкого обчислення дискретного перетворення Фур'є (ДПФ). Тобто, алгоритм обчислення за кількість дій, меншу ніж. необхідних для прямого (за формулою) обчислення ДПФ. Іноді під БПФ розуміється один з ... ... Вікіпедія
- Індоєвропейський словник з ностратическими етимології. Том 3. А. Б. Долгопольський. Ця книга буде виготовлена в відповідності з Вашим замовленням за технологією Print-on-Demand. Ця монографія є тритомне посмертне видання праці видатного радянського і ... Детальніше Купити за 1885 руб
- Індоєвропейський словник з ностратическими етимології. Том 1. А. Б. Долгопольський. Ця книга буде виготовлена в відповідності з Вашим замовленням за технологією Print-on-Demand. Ця монографія є тритомне посмертне видання праці видатного радянського і ... Детальніше Купити за 1825 руб
- Програма "Здоровий кишечник". Як здоров'я організму залежить від травлення. Юнгер Алехандро. Ви коли-небудь чули про те, що один із проявів серцевого нападу - це розлад травлення? А що болі в спині - частий провісник проблем з кишечником? Депресія, ... Детальніше Купити за 410 руб