Координати вектора в базисі

Довести, що вектори a, b, c утворюють базис, і знайти координати вектора d в ​​цьому базисі.
Нехай в R 3 щодо канонічного базиси дані чотири вектора f1 = (1,2,3). f2 = (2,3,7). f3 = (1,3,1). x = (2,3,4). Доведіть, що вектори f1. f2. f3 можна прийняти за новий базис. Знайдіть координати # 951; 1. # 951; 2. # 951; 3 вектора х щодо цього базису.

Рішення:
Записуємо матрицю переходу А:

і знаходимо її визначник
<>0
Бачимо, що ранг матриці З дорівнює трьом. З теореми про базисному мінорі вектори f1. f2. f3 лінійно незалежні, а тому можуть бути прийняті в якості базису простору R 3.
Знаходимо обернену матрицю А -1.
Транспонована матриця:

Алгебраїчні доповнення:









Зворотній матриця А -1

Знаходимо координати вектора х щодо нового базису.

Приклад №1. Дано вектори a, b, c і d. Встановити, що вектори a. b. c утворюють базис, і знайти координати вектора d в ​​цьому базисі.
Рішення.
Співвідношення, записане для векторів d = # 945; a + # 946; b + # 947; c, справедливо для кожної з проекцій:
# 945; * 1 + # 946; * 2 ​​+ # 947; * 1 = 0
# 945; * 2 ​​- # 946; * 2 ​​- # 947; * 2 ​​= 3
# 945; * 1 + # 946; * 1 + # 947; 0 = 1 тобто отримана алгебраїчна система трьох рівнянь з трьома невідомими. Рішення системи зручніше обчислювати методом Крамера або методом зворотної матриці.
# 945; = 1/2; # 946; = 1/2; # 947; = -3/2
отже, і вектор d має розкладання в базисі a, b, c.
d = 1 / 2a + 1 / 2b - 3 / 2c

Приклад №2. Дано вектори. Показати, що вектори утворюють базис тривимірного простору і знайти координати вектора в цьому базисі:

Рішення. Дане завдання складається з двох частин. Спочатку необхідно перевірити чи утворюють вектори базис.
Вектори утворюють базис, якщо визначник, складений з координат цих векторів, відмінний від нуля, в іншому випадку вектора не є базисними і вектор можна розкласти по даному базису.

Так як визначник відмінний від нуля, то вектори утворюють базис, отже, вектор можна розкласти по даному базису. Тобто існують такі числа # 945;, # 946;, # 947; що має місце рівність:

Запишемо це рівність в координатній формі:

Використовуючи властивості векторів, отримаємо наступне рівність:

По властивості рівності векторів маємо:

Вирішуючи отриману систему рівнянь методом Гаусса (методом послідовного виключення невідомих з рівнянь системи), виберемо в якості ведучого рівняння друге рівняння системи:

Висловимо з першого рівняння отриманої системи # 945; і підставимо отриманий вираз в друге і третє рівняння системи:

Розділимо друге рівняння системи на -1, а третє рівняння системи на -3 і висловимо з отриманого рівності # 947 ;.

Підставами отриманий вираз для # 947; в третє рівняння системи:

В результаті отримаємо розкладання вектора в базисі: