Як знайти об’єм піраміди, якщо дані координати вершин
Для розрахунку обсягу піраміди можна скористатися постійним співвідношенням, що зв'язує цю величину з об'ємом паралелепіпеда, побудованого на тій же підставі і з таким же нахилом висоти. А обсяг паралелепіпеда розраховується досить просто, якщо уявити його ребра як набір векторів - наявність в умовах завдання координат вершин піраміди дозволяє це зробити.
Інструкція
Розглядайте ребра піраміди як вектори, на яких побудована ця фігура. За координатами точок в вершинах A (X? -Y? -Z?), B (X? -Y? -Z?), C (X? -Y? -Z?), D (X? -Y? -Z ?), визначте проекції векторів, що виходять з вершини піраміди, на осі ортогональної системи координат - відніміть з кожної координати кінця вектора відповідну координату початку: AB, AC, AD.
Скористайтеся тим, що обсяг паралелепіпеда, побудованого на цих же векторах, повинен бути в шість разів більше обсягу піраміди. Обсяг такого паралелепіпеда визначити неважко - він дорівнює змішаного добутку векторів: | AB * AC * AD |. Значить, обсяг піраміди (V) складе одну шосту частину від цієї величини: V = 1/6 * | AB * AC * AD |.
Для розрахунку змішаного твори з отриманих на першому кроці координат складіть матрицю, помістивши в кожен її рядок три координати відповідного вектора:
Потім розрахуйте її визначник - через підрядник перемножте всі елементи множини і складіть результати:
Отримане на попередньому кроці значення відповідає обсягу паралелепіпеда - розділіть його на шістку, щоб отримати шуканий обсяг піраміди. У загальному вигляді цю громіздку формулу можна записати так: V = 1/6 * | AB * AC * AD | = 1/6 * ((X? -X?) * (Y? -Y?) * (Z? -Z?) + (Y? -Y?) * (Z? -Z?) * (X? - X?) + (Z? -Z?) * (X? -X?) * (Y? -Y?) + (Z? -Z?) * (Y? -Y?) * (X? -X? ) + (Y? -Y?) * (X? -X?) * (Z? -Z?) + (X? -X?) * (Z? -Z?) * (Y? -Y?)) .
Якщо хід обчислень в рішенні завдання приводити не потрібно, а потрібно лише отримати чисельний результат, простіше скористатися для розрахунків онлайн-сервісами. У мережі неважко знайти скрипти, які можуть допомогти з проміжними розрахунками - порахувати детермінант матриці - або самостійно обчислити об'єм піраміди по введеним в поля форми координатам точок. Пара посилань на такі сервіси приведена нижче.