Ядро і образ лінійного оператора

Ядро і образ лінійного оператора.

Нехай - лінійний оператор векторного простору Безліч позначається. Іншими словами, безліч є повний прообраз нульового вектора при відображенні. В силу лінійності оператора це безліч замкнуто щодо додавання і множення на скаляри. Отже, існує підпростір простору з основним безліччю Кегф.

ВИЗНАЧЕННЯ. Підпростір векторного простору з основним безліччю називається ядром лінійного оператора і позначається Розмірність ядра називається дефектом оператора дефект

Безліч позначається через або. В силу лінійності оператора це безліч замкнуто щодо додавання і множення на скаляри. Отже, існує підпростір простору з основним безліччю

ВИЗНАЧЕННЯ. Підпростір векторного простору з основним безліччю називається чином лінійного оператора і позначається Розмірність образу оператора називається рангом оператора ранг

ТЕОРЕМА 1.4. Нехай - лінійний оператор конечномерного векторного простору. Тоді (1) сума рангу і дефекту оператора дорівнює

Доведення. Перший випадок: Якщо - нульове простір, то легко бачити, що висновок теореми виконується.

Припустимо, що - нульове простір. Нехай - базис простору. Тоді система векторів породжує простір

Ця система векторів лінійно незалежна. Дійсно, якщо

то з огляду на лінійності оператора

Так як, то це означає, що

і в силу лінійної незалежності векторів

Таким чином, система є базисом простору і тому ранг дорівнює. Крім того, дефект дорівнює нулю. Отже, має місце твердження (1).

Другий випадок:. Нехай дефект дорівнює - базис ядра оператора базис простору. Якщо то, очевидно, твердження (1) виконується. Припустимо, що . У цьому випадку систему можна доповнити до базису простору. Нехай - базис простору тоді

т. е. система векторів породжує простір

Ця система лінійно незалежна. Дійсно, якщо

то в силу лінійності оператора

Так як - базис простору то існують такі скаляри що

В силу лінійної незалежності векторів це означає, що дорівнюють нулю всі коефіцієнти в лівій частині рівності, зокрема і. Таким чином, система векторів є базисом простору і ранг дорівнює. Отже, вірне твердження (1).