Ірраціональні рівняння з кубічними радикалами

Тема: «Ірраціональні рівняння виду. . »

Ірраціональними рівняннями називаються рівняння, в яких змінна втримується під знаком кореня (радикала) або знаком введення в дробовий ступінь.

Рівняння виду f (x) = g (x), де хоча б один з виразів f (x) або g (x) ірраціонально є ірраціональним рівнянням.

Основні властивості радикалів:

• Всі радикали парного степеня є арифметичними, тобто якщо подкоренное вираз негативно, то радикал не має сенсу (не існує); якщо подкоренное вираз дорівнює нулю, то радикал теж дорівнює нулю; якщо подкоренное вираз позитивно, то значення радикала існує і позитивно.
• Всі радикали непарного степеня визначені при будь-якому значенні подкоренного вираження. При цьому радикал негативний, якщо подкоренное вираз негативно; дорівнює нулю, якщо подкоренное вираз дорівнює нулю; позитивний, якщо підкорене вираз позитивно.

Методи рішення ірраціональних рівнянь

Вирішити ірраціональне рівняння - означає знайти всі дійсні значення змінної, при підстановці яких у вихідне рівняння воно звертається в правильне числове рівність, або довести, що таких значень не існує. Ірраціональні рівняння вирішуються на множині дійсних чисел R.

Областю допустимих значень рівняння складається з тих значень змінної, при яких невід'ємні все висловлювання, які стоять під знаком радикалів парного степеня.

Основними методами вирішення ірраціональних рівнянь є:

а) метод зведення обох частин рівняння в одну і ту ж ступінь;

б) метод введення нових змінних (метод замін);

в) штучні прийоми рішення ірраціональних рівнянь.

У даній статті зупинимося на розгляді рівнянь певного вище виду і наведемо 6 методів вирішення таких рівнянь.

Цей спосіб вимагає застосування формул скороченого множення і не містить «підводних» каменів, тобто не приводить до появи сторонніх коренів.

Перепишемо рівняння у вигляді і зведемо в куб обидві його частини. Отримаємо рівняння рівносильне даному рівнянню,

Приклад 2. Вирішити рівняння.

Перепишемо рівняння у вигляді і зведемо в куб обидві його частини. Отримаємо рівняння рівносильне даному рівнянню

і розглянемо отримане рівняння як квадратне відносно одного з коренів

отже, дискриминант дорівнює 0, а рівняння може мати рішення х = -2.

Зауваження. Перевірка може бути опущена, в тому випадку, якщо дорешівается квадратне рівняння.

2 метод. Піднесення до куб по формулі.

Як і раніше будемо зводити рівняння в куб, але при цьому користуватися модифікованими формулами скороченого множення.

(Незначна модифікація відомої формули), тоді

Приклад3. Вирішити рівняння .

Зведено рівняння в куб з використанням формул, наведених вище.

Але вираз має дорівнювати правій частині. Тому маємо:

Тепер при зведенні в куб отримуємо звичайне квадратне рівняння:

, і два його кореня

Обидва значення, як показує перевірка, правильні.

Але чи всі перетворення тут рівносильні? Перш ніж відповісти на це питання, вирішимо ще одне рівняння.

Приклад4. Вирішити рівняння .

Зводячи, як і раніше, обидві частини в третю ступінь, маємо:

Звідки (враховуючи, що вираз в дужках одно), отримуємо:

. Отримуємо, .Сделаем перевірку і переконаємося х = 0 -посторонній корінь.

Відповімо на питання: «Чому виникли сторонні корені?»

Рівність тягне рівність. Замінимо з на -з, отримаємо:

Неважко перевірити тотожність

Отже, якщо, то або, або. Рівняння можна представити у вигляді,.

Замінюючи з на -з, отримуємо: якщо, то або, або

Тому при використанні цього методу рішення обов'язково потрібно зробити перевірку і переконатися що сторонніх коренів немає.

3 метод. Метод системи.

Приклад 5. Розв'язати рівняння.

Введемо заміну, складемо і вирішимо систему рівнянь.

звідки очевидно, що

Друге рівняння системи виходить таким чином, щоб лінійна комбінація підкореневих виразів не залежала від вихідної змінної.

Легко переконатися. що система не має рішення, отже і вихідне рівняння не має рішення.

Відповідь. Корній немає.

Приклад 6. Розв'язати рівняння.

Введемо заміну, складемо і вирішимо систему рівнянь.

Повертаючись до початкової змінної маємо:

4 метод. Використання монотонності функцій.

Перш ніж використовувати даний метод звернемося до теорії.

Нам знадобляться такі властивості:

• Якщо функції y = f (x) і y = g (x) зростають (зменшуються) на деякій множині, то функція y = f (x) + g (x) також зростає (спадає) на цій множині.
• Якщо функції y = f (x) і y = g (x) зростають (зменшуються) на деякій множині, при чому обидві вони приймають невід'ємні значення при всіх допустимих х, то функція y = f (x) g (x) зростає (убуває ) на даній множині.
• Якщо функція y = f (x) монотонна, то рівняння f (x) = a має не більше одного рішення.
• Якщо функції y = f (x) і y = g (x) мають різний характер монотонності, то рівняння f (x) = g (x) має не більше одного рішення.
• Функція виду зростає при до> 0 і спадає при до<0.

Приклад 7. Розв'язати рівняння.

Ліва частина рівняння зростаюча функція, а права - число, тобто константа, отже, рівняння має не більше одного кореня, який підберемо: х = 9. Перевіркою переконаємося, що корінь підходить.

Приклад 8. Розв'язати рівняння.

Ліва частина рівняння зростаюча функція, а права - число, тобто константа, отже, рівняння має не більше одного кореня, який підберемо: х = -2. Перевіркою переконаємося, що корінь підходить.

Останнє рівняння можна представити іншому вигляді, тоді права частина рівняння убуває, а ліва зростає, отже рівняння має не більше одного кореня. і приходимо до х = -2.

5 метод. Графічний метод розв'язання рівнянь.

Приклад 9. Розв'язати рівняння

Перепишемо рівняння у вигляді: Побудуємо графіки лівої і правої частин.

Графіки перетинаються в точці (-1; 2), х = -1.

Перевірка: 2 = 2 (вірно).

х = -1 - є коренем вихідного рівняння.

6 метод. метод заміни

Приклад. Вирішити рівняння:

Введемо заміну. Нехай тоді рівняння приймає вид

t = 0 або - немає рішень.

t = 0, тоді повертаючись до початкової змінної маємо: х = -8.

Завдання для самостійного рішення.