інтеграли Дюамеля

Інтеграли Дюамеля. Перехідну характеристику часто використовують для знаходження реакції ланцюга на складне вплив.

Встановимо ці співвідношення. Домовимося, що вплив є безперервною функцією і підводиться до ланцюга в момент часу, а початкові умови - нульові.

Заданий вплив можна уявити як суму ступеневої впливу прикладеного до ланцюга в момент і нескінченно великого числа нескінченно малих східчастих впливів, безперервно наступних один за одним. Одне з таких елементарних дій, відповідних моменту додатка показано на малюнку 2. Рис. 2 Знайдемо значення реакції ланцюга в певний момент часу. Поетапне вплив з перепадом до моменту часу обумовлює реакцію, дорівнює добутку перепаду на значення перехідної характеристики ланцюга при, т. Е. Дорівнює. Нескінченна мала ж поетапне вплив з перепадом, обумовлює нескінченно малу реакцію, де є час, що минув від моменту додатка впливу до моменту спостереження.

Так як за умовою функція неперервна, то. Відповідно до принципу накладення реакції буде дорівнює сумі реакцій, обумовлених сукупністю впливів, що передують моменту спостереження, т. Е. Зазвичай в останній формулі замінюють просто на, оскільки знайдена формула вірна при будь-яких значеннях часу. Або, після нескладних перетворень. Будь-яке з цих співвідношень і вирішує завдання обчислення реакції лінійного електричного кола на заданий безперервний вплив за відомою перехідною характеристики ланцюга. Ці співвідношення називають інтегралами Дюамеля. 3. Імпульсні характеристики електричних ланцюгів Імпульсної характеристикою ланцюга називають відношення реакції ланцюга на імпульсний вплив до площі цього впливу при нульових початкових умовах.

За визначенням, де - реакція ланцюга на імпульсний вплив; - площа імпульсу впливу.

За відомою імпульсної характеристиці ланцюга можна знайти реакцію ланцюга на заданий вплив. В якості опції впливу часто використовується одиничне імпульсний вплив зване також дельта-функцією або функцією Дірака.

Дельта-функція - це функція всюди рівна нулю, крім, а площа її дорівнює одиниці (). До поняття дельта-функція можна прийти, розглядаючи межа прямокутного імпульсу висотою і тривалістю, коли (рис. 3): Рис. 3 Встановимо зв'язок між функцією передачі ланцюга і її імпульсною характеристикою, для чого використовуємо операційний метод. За визначенням. Якщо вплив (оригінал) розглядати для найбільш загального випадку у вигляді твору площі імпульсу на дельта-функцію, т. Е. У вигляді, то зображення цього впливу згідно таблиці відповідностей має вигляд. Тоді з іншого боку, ставлення перетвореної по Лапласа реакції ланцюга до величини площі імпульсу впливу, є операційну імпульсну характеристику ланцюга. Отже Для знаходження імпульсної характеристики ланцюга необхідно застосувати зворотне перетворення Лапласа. т. е. фактично.

Узагальнюючи формули, отримаємо зв'язок між операторної передавальної функцією ланцюга і операційними перехідною і імпульсної характеристиками ланцюга. Таким чином, знаючи одну з характеристик ланцюга, можна визначити будь-які інші.

Зробимо тотожне перетворення рівності, додавши до середньої частини. Тоді матимемо. Оскільки являє собою зображення похідної перехідної характеристики, то вихідне рівність можна переписати у вигляді. Переходячи в область оригіналів, отримуємо формулу, що дозволяє визначити імпульсну характеристику ланцюга за відомою її перехідною характеристиці. Якщо то. Зворотне співвідношення між зазначеними характеристиками має вигляд. За передавальної функції легко встановити наявність у складі функції доданка. Якщо ступеня чисельника і знаменника однакові, то розглядається доданок буде присутній.

Якщо ж функція є правильним дробом, то цього доданка не буде. Приклад: визначити імпульсні характеристики для напруг і в послідовній -ланцюга, показаної на малюнку 4. Рис. 4 Визначимо. По таблиці відповідностей перейдемо до оригіналу. Графік цієї функції показаний на малюнку 5. Рис. 5 Передавальна функція. Згідно таблиці відповідностей маємо. Графік отриманої функції показаний на малюнку 6. Рис. 6 Зазначимо, що такі самі висловлювання можна було отримати за допомогою співвідношень, що встановлюють зв'язок між і. Імпульсна характеристика по фізичному змісту відображає собою процес вільних коливань і з цієї причини можна стверджувати, що в реальних ланцюгах завжди повинна виконуватися умова. 4.