Формули похибок непрямих вимірювань

За даними табл.1 розрахуємо вибіркове стандартне відхилення

Дійсно переконуємося, що S багато більше приладової похибки.

Нехай в розглянутому прикладі задана довірча ймовірність Р = 0,95; ()

# 945; = 0,05 і потрібно знайти довірчий інтервал. При заданому рівні значимості # 945; = 0,05 і числа вимірювань n = 9 по табл. (Див. Додаток 2) знаходимо коефіцієнт Стьюдента. Знайшовши стандартну помилку середнього =. визначаємо полуширину довірчого інтервалу.

Похибки зазвичай виражаються однією значущою цифрою і лише в особливо відповідальних вимірах двома. Середнє значеніеокругляется до цифри, розряд якої дорівнює розряду значущої цифри похибки (нуль не є значущою цифрою). Якщо відкидається цифра старшого розряду менше 5, то цифри, що залишилися не змінюються. Якщо зазначена цифра більше або дорівнює 5. то остання залишилася цифра збільшується на 1. Округлення похибок проводиться по іншому. Якщо округляти похибки так само, як округлюють середні значення, то мимоволі можливе зменшення реальної похибки. Наприклад, похибка, розрахована за виразом (10), виявилася рівною. Округляючи її, як округлюють середні значення, отримаємо. Тобто ми мимоволі зменшили реальний довірчий інтервал. Тому, якщо відкидається цифра більше або дорівнює 3, то остання оставляемая цифра збільшується на 1 (краще недооцінити точність вимірювань, ніж переоцінити їх).

У нашому випадку остаточний результат повинен бути записаний так:

Видозмінимо розглянутий приклад.

Нехай тепер при заданій інший напівширину довірчого інтервалу # 8710; X ін = 0,48 треба визначити довірчу ймовірність Р.

З виразу (7) визначаємо коефіцієнт Стьюдента t # 945; .9 = 0,82. З тієї ж табл.

(Див. Додаток 2) знаходимо довірчу ймовірність Р = 0,56.

Остаточний результат при цьому буде виглядати так:

Зверніть увагу: значення і повинні бути записані з однаковою точністю.

Округлення результатів вимірювань.

Ще видозмінимо приклад.

Нехай задані і довірча ймовірність Р = 0,98 і полушіріна довірчого інтервалу. Потрібно визначити, скільки треба зробити вимірювань, щоб при заданій довірчій ймовірності справжнє значення випадкової величини знаходилося в заданому довірчому інтервалі.

За табл. (Див. Додаток 2) при довірчій ймовірності Р = 0,98 знаходимо значення коефіцієнта Стьюдента t 0,02; 9 = 2,90 і з виразу знаходимо n = 72.

Якщо таке число вимірювань виконати неможливо, то треба змінити методику вимірювань з метою зменшення разбросов результатів окремих вимірювань.

Нагадаємо ще раз, що в цьому прикладі ми не враховували приладову похибка, тому що вона була на багато менше випадковою. Але якщо приладова похибка порівнянна з випадковою (розрізняються менш ніж в 5 разів), то загальна похибка буде складатися з приладової і випадкової. В теорії похибки (див. Додаток 1) доводиться, що додавання при цьому буде не просте (арифметичне), а, так зване, «квадратичне».

У ряді випадків, коли не потрібно велика точність, (наприклад, в лабораторних роботах) з метою спрощення, застосовують просте арифметичне додавання випадкової і приладової похибок, називаючи таку граничною похибкою.

Зрозуміло, що вона завжди буде трохи більше «квадратической».

В результаті проведення експерименту були отримані 9 експериментальних даних, представлені в таблиці (перший рядок). Як видно, приладова похибка дорівнює 0, 05. Оцінимо випадкову похибку.

Нехай в розглянутому прикладі задана та ж довірча ймовірність Р = 0,95; ()

Ставлення. що менше 5. і необхідно враховувати і приладову і випадкову похибки. Проведемо цю оцінку. За висловом (11) вона дорівнює:

З урахуванням округлення;

За висловом (12) гранична похибка буде дорівнює:

З урахуванням округлення

У першому випадку запис остаточного результату буде виглядати так:

X = 45, 0 ± 0, 3; P = 0, 95; # 948; = 0, 5%

У другому випадку:

X = 45, 0 ± 0, 3; P = 0, 95; # 948; = 0, 6%

Як бачимо, остаточні результати вимірювань відрізняються всього на 0,1%

4. Похибки непрямих вимірювань.

При непрямих вимірах, яка цікавить нас величина розраховується за математичними формулами, тобто вона є функцією від відповідних аргументів, які безпосередньо вимірюються в ході проведення експерименту. В основі лежить уявлення про те, що приріст функції приблизно дорівнює її диференціалу.

Тобто знаходження похибки непрямих вимірювань зводиться до знаходження диференціала функції. Для функції однієї змінної це не представляє труднощі, проте для функції двох і більше змінних дещо ускладнюється.

Як приклад визначимо похибка при визначенні обсягу кулі. Найбільш просто виміряти діаметр кулі, а його обсяг розрахувати за відомою формулою.

Вимірюючи діаметр, ми робимо помилку і, отже, обсяг кулі буде містити похибку. Обсяг кулі є функція його діаметра. Нагадаємо, що диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал аргументу.

Знайдемо похідну =. тоді d V = d D

Або, припускаючи, d D = # 8710; D; d V = # 8710; V маємо: # 8710; V =

У загальному випадку, в похибка # 8710; V входять приладова і випадкова похибки. Ці похибки ми вже навчилися оцінювати. Нехай вимір діаметра кулі проводилося за допомогою штангенциркуля 6 разів і отримані однакові значення D = 21,70 мм (рис.2)

(Тобто випадкові похибки можна не враховувати). Обсяг кулі при цьому

V = 5347,584 мм 3. приладів похибка дорівнює 0,05 (половина ціни ділення).

D = (21, 70 ± 0, 05), мм

Таким чином, непряма похибка в визначенні обсягу кулі буде дорівнює

# 8710; V = # 8710; V = 36,96 [мм 3]

Відносна похибка або точність вимірювання при цьому дорівнює

або 0,7%. що є досить точним виміром.

Остаточно, з урахуванням округлення, отримаємо:

V = (5350 ± 40) мм 3; # 948; = 0, 7%

У випадку функції двох і більше змінних повний диференціал виражається через приватні похідні.

Вирази виходять дуже громіздкими. Однак існує метод, що дозволяє істотно спростити обчислення. Замість того щоб шукати абсолютну похибка знаходять спочатку відносну. Для цього задану залежність спочатку логаріфміруют, а потім отриманий вираз диференціюють. Нехай Z = X * Y тоді

або для кінцевих збільшень. Абсолютну похибку знаходять, множачи знайдену відносну, на Z..

Розглянемо це на прикладі конкретної лабораторної роботи.

«Визначення коефіцієнта поверхневого натягу рідини».

У цій роботі вимірюють силу відриву кільця і його діаметр. Вираз для визначення коефіцієнта поверхневого натягу має вигляд:

Для вимірювання сили в лаб. роботі використовуються торсіонні ваги, що дозволяють визначати силу з точністю в 1 мГ (приладова похибка). Провівши 5 вимірів сили, отримаємо розкид значень сил, істотно перевершує приладову похибку. Оцінку випадкової похибки у вимірі сили при заданій довірчій ймовірності (Р = 0,95) проведемо розглянутим раніше способом.