Евмhistory число Ейлера (е)

e - основа натурального логарифма, математична константа, ірраціональне і трансцендентне число. Приблизно так само 2,71828. Іноді число називають числом Ейлера або числом Непера. Позначається рядкової латинською літерою «e».

Наступна поява числа e знову cомнітельно. У 1647 р Сен-Вінсент (Saint-Vincent) обчислив площу сектора гіперболи. Чи розумів він зв'язок з логарифмами, залишається тільки здогадуватися, але навіть якщо розумів, то навряд чи він міг прийти до самого числа e. Тільки до 1661 р Гюйгенс (Huygens) зрозумів зв'язок між равнобочной гіперболою і логарифмами. Він довів, що площа під графіком равнобочной гіперболи xy = 1 равнобочной гіперболи на проміжку від 1 до e дорівнює 1. Це властивість робить e підставою натуральних логарифмів, але це не розуміли математики того часу, однак вони повільно наближалися до цього розуміння.

Гюйгенс зробив наступний крок в 1661 г. Він визначив криву, яку назвав логарифмічною (в нашій термінології ми будемо називати її експоненційної). Це крива виду y = ka x. І знову з'являється десятковий логарифм e. який Гюйгенс знаходить з точністю до 17 десяткових цифр. Однак він виник у Гюйгенса як якась константа і не був пов'язаний з логарифмом числа (отже, знову підійшли впритул до e. Але саме число e залишається невпізнаним).

Дивно, що число e в явному вигляді вперше виникає не у зв'язку з логарифмами, а в зв'язку з нескінченними творами. У 1683 р Якоб Бернуллі намагається знайти

Він використовує біноміальними теорему для доказу того, що ця межа знаходиться між 2 і 3, і це ми можемо розглядати як перше наближення числа e. Хоча ми приймаємо це за визначення e. це перший випадок, коли число визначається як межа. Бернуллі, звичайно, не зрозумів зв'язку між своєю роботою і роботами з логарифмам.

Раніше згадувалося, що логарифми на початку їх вивчення ніяк не зв'язувалися з експонентами. Звичайно, з рівняння x = a t ми знаходимо, що t = loga x. але це набагато більш пізній спосіб сприйняття. Тут ми справді маємо на увазі під логарифмом функцію, тоді як спочатку логарифм розглядався тільки як число, яке допомагало в обчисленнях. Можливо, Якоб Бернуллі першим зрозумів, що логарифмічна функція є зворотною показовою. З іншого боку, першим, хто пов'язав логарифми і ступеня, міг бути Джеймс Грегорі (Games Gregory). У 1684 р він виразно усвідомив зв'язок між логарифмами і ступенями, але, можливо, він був не першим.

Ми знаємо, що число e з'явилося в тому вигляді, як зараз, в 1690 р Лейбніц в листі до Гюйгенсу використовував для нього позначення b. Нарешті у e з'явилося позначення (хоча воно не збігалося з сучасним), і це позначення було визнано.

У 1697 р Йоганн Бернуллі починає вивчення показовою функції і публікує Principia calculi exponentialum seu percurrentium. У цій роботі обчислюються суми різних експоненційних рядів, і отримані деякі результати їх почленного інтеграції.

Леонард Ейлер (Euler) ввів так багато математичних позначень, що не дивно, що позначення e також належить йому. Здається смішним твердження, що він використовував літеру e через те, що це перша буква його імені. Ймовірно, це навіть не тому, що e взято від слова "exponential", а просто це наступна голосна за "a", а Ейлер вже використовував позначення "a" в своїй роботі. Незалежно від причини, позначення вперше з'являється в листі Ейлера Гольдбаху (Goldbach) в 1731 р Він зробив багато відкриттів, вивчаючи e надалі, але тільки в 1748 р в Introductio in Analysin infinitorum він дав повне обгрунтування всім ідеям, пов'язаним з e. Він показав, що

Ейлер також знайшов перші 18 десяткових знаків числа e:

правда, не пояснюючи, як він їх отримав. Схоже, що він вирахував це значення сам. Насправді, якщо взяти близько 20 членів ряду (1), то вийде точність, яку отримав Ейлер. Серед інших цікавих результатів в його роботі приведена зв'язок між функціями синус і косинус і комплексної показовою функцією, яку Ейлер вивів з формули Муавра.

Цікаво, що Ейлер знайшов навіть розкладання числа e в безперервні дроби і привів зразки такого розкладу. Зокрема, він отримав

Ейлер не привів докази, що ці дроби так само тривають, проте він знав, що якби такий доказ було, то воно доводило б ірраціональність e. Дійсно, якби безперервна дріб для (e - 1) / 2. тривала так само, як в наведеному зразку, 6,10,14,18,22,26, (кожен раз додаємо по 4), то вона ніколи б не перервалася, і (e-1) / 2 (а значить, і e ) не могло б бути раціональним. Очевидно, це перша спроба довести ірраціональність e.

Першим, хто обчислив досить велике число десяткових знаків числа e. був Шенкс (Shanks) в 1854 р Глейшер (Glaisher) показав, що перші 137 знаків, обчислені Шенксом, були вірними, однак далі знайшов помилку. Шенкс її виправив, і було отримано 205 десяткових знаків числа e. Насправді, потрібно близько 120 членів розкладання (1), щоб отримати 200 вірних знаків числа e.

У 1864 р Бенджамен Пірс (Peirce) стояв біля дошки, на якій було написано

У своїх лекціях він міг би сказати своїм студентам: "Джентльмени, ми не маємо ні найменшого уявлення, що б це значило, але ми можемо бути впевнені, що це означає щось дуже важливе".

Більшість вважає, що Ейлер довів ірраціональність числа e. Однак це зробив Ерміт (Hermite) в 1873 р До сих пір залишається відкритим питання, чи є число e e алгебраїчним. Останній результат в цьому напрямку - це те, що принаймні одне з чисел e e і e e 2 є трансцендентним.

Далі вираховували наступні десяткові знаки числа e. У 1884 р Бурман (Boorman) обчислив 346 знаків числа e. з яких перші 187 збіглися зі знаками Шенкса, але наступні розрізнялися. У 1887 р Адамс (Adams) обчислив 272 цифри десяткового логарифма e.

Переклад статті на українську: Hijos.Ru.