Епюр (комплексний креслення) точки

Ортогональное проектування точок

Будь-геометричний образ можна уявити як сукупність безлічі точок. Тому дуже важливо вміти будувати їх проекції. Суть ортогонального проектування точки показана на малюнку 1. Дана деяка площину П1 - площина проекцій і точка А. розташована в просторі. Для отримання ортогональної проекції точки А на площині П1 необхідно через цю точку провести пряму l (проектує промінь) перпендикулярно площині П1. Точка перетину А1 прямий l з площиною П1 називається ортогональної проекцією точки А.

Як видно з креслення, маючи точку в просторі, можна однозначно отримати її проекцію на деякій площині.

У технічних кресленнях прийнято проектувати геометричні образи на три взаємно перпендикулярні площини - П1. П2 і П3 (малюнок 2).

П1 - горизонтальна, П2 - фронтальна, П3 - профільна площини проекцій. Це дуже зручно для вирішення різних завдань. Третя площина проекцій П3 дозволяє вирішити ряд завдань, які важко здійснити на двох площинах. Як видно з малюнка 2, щоб отримати проекції точки А на площинах П1. П2 і П3. необхідно з точки А провести перпендикуляри до цих площин до їх перетину з площинами проекцій в точках А1. А2. А3.

Епюр (комплексний креслення) точки

На практиці об'ємну систему, показану на малюнку 2, застосовувати складно. Використовують її трансформацію (рисунок 3), яка називається «епюр» або «комплексний креслення». Фронтальну площину проекцій П2 разом з фронтальною проекцією точки А2 залишають нерухомою. Горизонтальну площину проекцій П1 разом з горизонтальною проекцією точки А1 повертають навколо осі ох у напрямку стрілки m до суміщення з площиною П2. Профільну площину проекцій П3 разом з проекцією точки А3 повертають навколо осі oz у напрямку стрілки n також до суміщення з площиною П2. Отриманий плоский креслення, де все три площини проекцій суміщені з одного, і називається епюр. Тут немає самої точки, є тільки її проекції. За їх розташуванню і судять про становище точки в просторі, а якщо це якийсь об'єкт, то і про його форму і розміри. Як правило, на епюрі кордонів площин П1. П2 і П3 не дають, а показують лише осі системи.

Аналізуючи епюр, відзначимо його основні властивості:

- дві проекції точки завжди лежать на одному перпендикуляр до осі їх розділяє;

- точку в просторі визначають дві її проекції або три координати.

Горизонтальна і фронтальна проекції А1 і А2 точки А завжди знаходяться на одному перпендикуляр до осі ox. Фронтальна А2 і профільна А3 проекції точки лежать на одному перпендикуляр до осі oz.

Сформулюємо також правила побудови проекцій точки на епюрі за заданими координатами. Якщо задана точка трьома координатами - A (x, y, z), то для побудови її проекцій необхідно:

1) Відкласти координату x точки А (відрізок ОАx).

2) Через отриману точку Аx провести перпендикуляр до осі ox.

3) Вгору по перпендикуляру від точки Аx відкладаємо координату z точки А. Отримуємо фронтальну проекцію точки - А2.

4) Вниз по перпендикуляру від точки Аx відкладаємо координату y точки А. Отримуємо горизонтальну проекцію точки - А1.

5) Профільну проекцію точки А3 будуємо, як показано на малюнку 3 (через бісектрису кута yOy), або іншим іншим способом (див. Рекомендовану літературу).

Сформульовані правила побудови проекцій точки справедливі для першої чверті епюра.