Електронна бібліотека методичні вказівки щодо виконання контрольних робіт з дисципліни «алгебра

Тема 4. n-мірне векторний простір

Визначення. n -мірним вектором називається впорядкована сукупність n дійсних чисел x 1. x 2, ..., xn. Числа x 1. x 2, ..., xn називаються компонентами вектора. Два n -мірних вектора і рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх відповідні компоненти, тобто =. коли =. i =.

Сумою двох векторів і називається вектор +. компоненти zi, якого дорівнюють сумі. .

Твором вектора на дійсне число називається вектор. компоненти ui якого дорівнюють добутку на відповідні компоненти вектора. тобто .

Для векторів n мірного простору справедливі такі властивості:

6. Існує єдиний нульовий вектор (0,0, ... 0) такий, що для будь-кого.

7. Для будь-якого вектора існує єдиний протилежний йому вектор (-) такий, що.

Визначення. n -мірним простором Rn називають сукупність n -мірних векторів з дійсними компонентами, що розглядається з певними в ній операціями додавання векторів і множення вектора на число і задовольняє законам
1-9.

Вектор називається лінійною комбінацією векторів. якщо існують такі дійсні числа в повному обсязі одночасно рівні нулю, що має місце рівність

Визначення 1. Система векторів простору Rn називається лінійно залежною, якщо хоча б один з цих векторів є лінійною комбінацією інших векторів. В іншому випадку система векторів називається лінійно незалежною.

Визначення 2. Система векторів простору Rn називається лінійно залежною, якщо існують такі числа. хоча б одне з яких відмінно від нуля, що має місце рівність.

В іншому випадку система векторів називається лінійно незалежною.

Приклад. З'ясувати, чи є дана система векторів лінійно залежною.

Рішення. Знайдемо рішення векторної рівності