Ексцентриситет і директриси еліпса і гіперболи

Розглянемо гіперболу (1). Для неї . тому . Згадавши, що. отримуємо. Досліджуємо, як змінюється форма гіперболи в залежності від її ексцентриситету. Зафіксуємо піввісь. Якщо. то. тобто гіпербола буде дуже вузькою. З ростом зростає і. тобто гілки гіперболи розширюються (див. рис. 3.9). Якщо ж . то і. тобто гіпербола за зовнішнім виглядом наближається до пари паралельних прямих.

Розглянемо тепер еліпс (2). Для нього . тому . Для еліпса (2)

Рис.3.9. тому. Досліджуємо, як змінюється форма еліпса в залежності від його ексцентриситету. Знову зафіксуємо піввісь. При отримуємо. і еліпс вироджується в коло. З ростом піввісь зменшується, еліпс «худне», а якщо. то. тобто еліпс і зовсім прагне перетворитися в відрізок (рис 3.10).

Тепер повернемося до директриси. Так як для гіперболи (1). а для еліпса (2). Мал. 3.10

то для гіперболи. а для еліпса. Це означає, що і директриси гіперболи, і директриси еліпса свою криву не перетинають. Крім того, директриса і відповідний їй фокус відокремлені кривої один від одного (рис. 3.11 і 3.12).

Теорема (основне властивість еліпса і гіперболи по відношенню до директриси). Для всіх точок гіперболи (еліпса) відношення відстані до фокусу до відстані до відповідної цьому фокусу директриси є число постійне, рівне ексцентриситету гіперболи (еліпса). І навпаки: якщо для будь-якої точки площини відношення відстані до фокусу заданої гіперболи (еліпса) до відстані до відповідної цьому фокусу директриси дорівнює ексцентриситету заданої гіперболи (еліпса), то ця точка належить гіперболі (еліпсу).

►Докажем твердження для лівого фокуса і лівої директриси гіперболи (1) (в інших випадках ви його доведете самостійно в якості вправи). На рис. 3.13 точки мають наступні координати:. . . тоді

З цих двох рівностей і отримуємо:

Доведемо зворотне твердження. Нехай для деякої точки площини справедливо співвідношення:

Так як . а. то

Враховуючи що . з останнього рівняння отримуємо. Таким чином, точка задовольняє рівняння заданої гіперболи. ◄

На підставі доведеної теореми ми можемо сформулювати загальне визначення еліпса, гіперболи і параболи.

Визначення. Гіперболою (еліпсом, параболою) називається безліч точок площині, для кожної з яких відношення відстані до заданої точки до відстані до заданої прямої в цій площині є число постійне, рівне e, причому e> 1 (e <1, e = 1).

Полярні рівняння еліпса, гіперболи і параболи

Полярна система координат

Виберемо на площині довільну точку О. яку назвемо полюсом, і проведемо промінь з початком в цій точці, який назвемо полярною віссю. Кожній точці площини поставимо у відповідність впорядковану пару чисел. де - відстань від точки до полюса, а - кут між полярною віссю і радіус-вектором точки (рис.3.14). Отримаємо відповідність між безліччю точок площини і безліччю впорядкованих пар действитель- Рис. 3.14. них чисел. Якщо. а чи. то це відповідність буде взаємно однозначним на площині з виколоти точкою (полюсом).

Висновок полярних рівнянь

Виберемо одну з трьох кривих - еліпс, параболу або одну з гілок гіперболи, і позначимо її. Полярну систему координат побудуємо таким чином: полюс помістимо в фокус (для гіперболи беремо фокус, що відповідає обраній галузі), а полярну вісь проведемо перпендикулярно відповідної цьому фокусу директрисі в напрямку від неї. Відстань від фокуса до діректрісиобозначім. Число називається фокальним параметром кривої. Тоді (рис. 3.15):. ;

звідки отримуємо рівняння

Це рівняння задає еліпс, параболу, ліву гілку гіперболи, коли полюс знаходиться в лівому фокусі, і праву її гілка, коли фокус знаходиться в правому фокусі.

Якщо розглянута крива - еліпс, то. і з (1) видно,

Рис.3.15. що. Якщо розглянута крива - парабола, то і. У разі ж, коли розглядається одна з гілок гіперболи, причому полюс знаходиться у відповідному фокусі, то для знаходження потрібно вирішити нерівність. або. звідки знаходимо. Таким чином, для однієї з гілок гіперболи

Це означає, що будь-який промінь, випущений з фокуса еліпса, перетинає цей еліпс; єдиний промінь, випущений з фокуса параболи і не перетинає її - це полярна вісь; а промені, випущені з фокуса гіперболи і не перетинають відповідну її гілка, утворюють цілий кут.

Вправа. Покажіть, що в тій же полярній системі рівняння протилежної гілки гіперболи виглядає так: