Ефективні методи вирішення певних і невласних інтегралів

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Даний розділ містить додаткові матеріали по методам вирішення певних і невласних інтегралів. Передбачається, що Новомосковсктель володіє середніми або високими навичками інтегрування. Якщо це не так, будь ласка, почніть з азів: Невизначений інтеграл, приклади рішень.

Де невизначений інтеграл - там неподалік і Визначений інтеграл. з формулою Ньютона-Лейбніца ви теж повинні бути знайомі не з чуток. Крім того, вміти вирішувати найпростіші завдання на обчислення площі плоскої фігури (див. 7.2.3.) І на обчислення об'єму тіла обертання (див. 7.2.4.).

Урок призначений для тих, хто хоче навчитися швидше і ефективніше вирішувати певні і невласні інтеграли. Спочатку розглянемо особливості інтегрування парній і непарній функції по симетричному щодо нуля інтервалу. Потім ми розберемо завдання про знаходження площі круга за допомогою певного інтеграла. Це завдання важлива ще й тим, що знайомить вас з поширеним прийомом інтегрування певного інтеграла - тригонометричної підстановкою. Вона ще ніде не розглядалася - новий матеріал!

Аналогічно, розглянемо невласні інтеграли від парних і непарних функцій по симетричному інтервалу. В тому числі, більш рідкісні типи невласних інтегралів, які не увійшли до основного матеріал попередніх розділів: коли нижня межа прагне до «мінус нескінченності», коли обидва межі прагнуть до нескінченності, коли в обох кінцях відрізка інтегрування функція терпить нескінченний розрив (це вже інтеграл другого роду). І зовсім рідкісний невласний інтеграл - з точкою розриву на відрізку інтегрування.

Метод вирішення певного інтеграла від парної функції по симетричному щодо нуля відрізку

Розглянемо певний інтеграл виду

Легко помітити, що відрізок інтегрування [-c; c] симетричний щодо нуля.

Якщо підінтегральна функція f (x) є парною. то інтеграл

можна обчислити по половині відрізка, а результат - подвоїти:

Багато здогадалися, чому це так, але розглянемо конкретний приклад з кресленням:

Обчислити визначений інтеграл

Про парності функції багато говорилося в методичному матеріалі Графіки і властивості елементарних функцій. Повторимо ще раз: функція є парною, якщо для неї виконується рівність f (-x) = f (x).

Як перевірити функцію на парність? Потрібно вместоx підставити -x.

В даному випадку: і.

Значить, ця функція є парною.

Згідно з правилом, на симетричному щодо нуля відрізку [-2; 2] наш інтеграл від парної функції можна обчислити таким чином:

А зараз геометрична інтерпретація. Так, продовжуємо мучити нещасну параболу ....

Будь-яка парна функція, зокрема. симетрична щодо осі OY:

чисельно дорівнює площі плоскої фігури, яка заштрихована зеленим кольором. Але, в силу парності підінтегральної функції, а, значить, і симетричності її графіка відносно осі OY. досить обчислити площу фігури, заштрихованої синім кольором, а результат - подвоїти. Однакові половинки є геометричне вираження властивості парності. Саме тому справедливо дію

Аналогічна історія відбувається з будь-парної функцією f (x) по симетричному щодо нуля відрізку:

Деякі скажуть: «Так навіщо це все потрібно, можна ж і так обчислити визначений інтеграл». Можна, можливо. Давайте обчислимо:

Але чи зручно було підставляти негативний нижня межа? Не дуже-то. До речі, ненульовий відсоток студентів припуститься помилки в знаках. Набагато простіше і приємніше підставити нуль. Зауважимо, що це ще був простий демонстраційний приклад, на практиці все буває гірше.

Крім того, розглядається прийом часто застосовується при обчисленні подвійних інтегралів. потрійних інтегралів. де обчислень і так вистачає.

Короткий приклад для самостійного рішення:

Обчислити визначений інтеграл

Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Зверніть увагу, що коли вам запропоновано просто обчислити визначений інтеграл, то креслення виконувати не потрібно! Малюнок до Прикладу 1 дан тільки для того, щоб було зрозуміло правило. Якраз цього моменту присвячена наступна проста задачка:

3.1. Обчислити визначений інтеграл

3.2. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями

. і віссю OX на інтервалі.

Це дві різні завдання! Спочатку розберемося з першим пунктом:

1) Підінтегральна функція є парною, відрізок інтегрування симетричний щодо нуля, тому:

Певний інтеграл вийшов негативним і так буває!

Тепер знайдемо площу плоскої фігури. Ось тут без креслення обійтися важко:

На відрізку графік функції розташований нижче осі OX. тому:

Площа не може бути негативною, саме тому у формулі обчислення площі додають мінус (див. Також Приклад 3 з розділу 7.2.3.).

Зауважте, що парність косинуса ніхто не відміняв, тому ми знову розділили відрізок і подвоїли інтеграл.