Двогранний кут - презентація з геометрії

Двогранний УГОЛДвугранним кутом називається фігура (рис. 1), утворену двома півплощини, із загальною обмежує їх прямий, і частиною простору, обмеженої цими напівплощиною. Напівплощини називаються гранями двогранного кута, а їх загальна гранична пряма - ребром двогранного кута. Лінійним кутом двогранного кута називається кут, отриманий в результаті перетину даного двогранного кута і який-небудь площині, перпендикулярній його ребру (рис. 2) Величина двогранного кута називається величина його лінійного кута.

Вправа 1как кут утворює ребро двогранного кута з будь-якої прямої, що лежить в площині його лінійного кута?

Вправа 2Плоскості двох рівнобедрених трикутників із загальним підставою утворюють двогранний кут. Чи вірно твердження про те, що висоти, проведені до загального основи трикутників, утворюють лінійний кут двогранного кута?

Вправа 3Треугольнік MAB і квадрат ABCD задані таким чином, що MB - перпендикуляр до площини квадрата. Який кут можна вважати кутом між площинами AMD і ABC?

Вправа 4В правильної трикутної призмі знайдіть кут між бічними гранями.

Вправа 5В кубі A ... D1 знайдіть кут нахилу площини ABC1 до площини ABC.

Вправа 6Найдіте двогранні кути правильного тетраедра.Решеніе: Нехай ABCD - правильний тетраедр з ребром 1. З вершин A і D опустимо перпендикуляри AE і DE на ребро BC. Кут AED буде лінійним кутом шуканого двогранного кута. У трикутнику ADE маємо: AD = 1, AE = DE =. Використовуючи теорему косинусів, знаходимо. Звідки 70о30 # '.

Вправа 7Найдіте геометричне місце точок у просторі, рівновіддалених від двох пересічних площин. Відповідь: Дві біссектральние площині.

Вправа 8Через сторону BC трикутника ABC проведена площину під кутом 30 ° до площини трикутника. Висота AD трикутника ABC дорівнює a. Знайдіть відстань від вершини A трикутника до площини α.

Вправа 9Через катет BC = a рівнобедреного прямокутного трикутника ABC (кут C дорівнює 90 °) проведена площину α, що утворює з площиною трикутника кут 30 °. Знайдіть відстань від вершини A до площини α.

Вправа 10Через сторону BC трикутника ABC проведена площину під кутом 30 ° до площини трикутника; кут C дорівнює 150 °, AC = 6. Знайдіть відстань від вершини A до цієї площини.

Вправа 11Дан квадрат ABCD, через вершину D паралельно діагоналі AC проведена площину α, що утворює з діагоналлю BD кут 60 °. Чому дорівнює кут між площиною квадрата і площиною α?

Вправа 12Основаніем висоти чотирикутної піраміди є точка перетину діагоналей основи піраміди. Чи вірно, що двогранні кути, утворені бічними гранями піраміди з площиною основи, рівні, якщо підставою піраміди є: а) квадрат; б) паралелограм; в) ромб; г) рівнобедрена трапеція?

Вправа 13В підставі прямої призми паралелограм зі сторонами 4 дм і 5 дм. Кут між ними 30 °. Знайдіть площу перерізу призми площиною, якщо відомо, що вона перетинає всі бічні ребра і утворює з площиною основи кут 45 °.

Вправа 14Боковое ребро прямої призми дорівнює 6 см. Її основа - прямокутний трикутник з катетами 3 см і 2 см. Знайдіть площі перерізів призми площинами, що проходять через кожен з даних катетів і утворюють кути 60 ° з площиною основи.

Вправа 15Сторона підстави правильної трикутної призми дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу призми площиною, що проходить через середини двох сторін підстави і утворює кут 45 ° з його площиною, якщо відомо, що площина перетинає: а) тільки одне бічне ребро призми; б) два її бічних ребра.

Вправа 16Ребро куба одно a. Знайдіть площу перерізу куба площиною, що проходить через сторону підстави, якщо кут між цією площиною і площиною основи дорівнює: а) 30 °; б).

Вправа 17Через середини двох суміжних сторін підстави правильної чотирикутної призми проведено площину, яка утворює з площиною основи кут і перетинає три бокових ребра призми. Знайдіть сторону основи, якщо площа перерізу дорівнює Q.

Вправа 18Найдіте двогранні кути октаедра.Решеніе: Розглянемо правильний октаедр з ребром 1. З вершин E і F опустимо перпендикуляри EG і FG на ребро BC. Кут EGF буде лінійним кутом шуканого двогранного кута. У трикутнику EGF маємо: EF =. EG = FG =. Використовуючи теорему косинусів, знаходимо. Звідки 109о30 # '.

Вправа 19Найдіте двогранні кути ікосаедра.Решеніе: Розглянемо правильний ікосаедр з ребром 1. З вершин A і C опустимо перпендикуляри AG і CG на ребро BF. Кут AGC буде лінійним кутом шуканого двогранного кута. У трикутнику AGC маємо: AC =. EG = FG =. Використовуючи теорему косинусів, знаходимо. Звідки 138о11 # '.

Вправа 20Найдіте двогранні кути додекаедра.Решеніе: Розглянемо правильний додекаедр з ребром 1. З вершин A і C опустимо перпендикуляри AG і CG на ребро BF. Кут AGC буде лінійним кутом шуканого двогранного кута. У трикутнику AGC маємо: AC =. EG = FG =. Використовуючи теорему косинусів, знаходимо. Звідки 116о34 # '.