Дрібно-раціональні функції - студопедія

Для оцінки техніко-економічних показників також може застосовуватися дрібно-раціональні функції. Розглянута вище функція є окремим випадком дрібно-раціональної функції.

Дрібно-раціональна функція має вигляд:

Приклад 1. Припустимо, є функція наступного виду:

Після перетворення отримаємо:

З цього випливає, що прямі х = 1, х = 2 є двосторонніми (вертикальними) асимптотами графіка.

Тепер визначимо точки максимуму і мінімуму. Припустимо, що

Щоб пряма у = а перетнула графік в двох співпадаючих точках, необхідно, щоб

Це і є два екстремальних значення функції. Відповідні їм значення аргументу отримуємо з рівності

Таким чином, функція має максимум, при мінімум при Графік функції представлений на рис. 8.

Приклад 2. Дослідити і побудувати графік функції:

х 2 + 1> 0 при будь-якому х. функція визначена на всій числовій осі. Якщо х = 0, то у = 1, отже, графік перетинає вісь ординат в точці (0,1).

Якщо х = -1, то у = 0. тобто графік перетинає вісь абсцис в точці -1.

Тепер знайдемо екстремальні значення функції. Для цього слід було б знайти точки перетину даної кривої з прямою у = а.

Далі, шляхом прирівнювання до нуля дискримінанту визначимо екстремальні значення функції:

Точка є точка максимуму, а точка - мінімуму.

Для уточнення графіка визначимо ще кілька точок. Якщо х = 1, то у = 1, якщо х = 2, то у = 0,6; якщо х = -2, то Графік зображений на рис. 9.

Приклад 3. Дослідити та побудувати графік функції

Область визначення функції складається з двох інтервалів: (-∞, 1) і (1, + ∞). Це означає, що графік функції складається з двох гілок:

Знайдемо точки екстремуму. Для цього вважаємо, що, отже:

Потім, прирівнюючи дискриминант нулю, отримаємо екстремальні значення функції:

Таким чином, функція має мінімум в точці, яка дорівнює, максимум в точці, яка дорівнює.

Графік функції зображений на рис. 10.