Дрібних кроків метод

Дробове КРОКІВ МЕТОД

- один з економічних методів розв'язання задач математичної фізики. При збільшенні розмірності задачі к-ть операцій для отримання числ. рішення зростає внаслідок як зростання к-ва точок, так і логічний. труднощів складання програми розрахунку. Для системи дифф. ур-ний

де дифф. оператор, схеми простий апроксимації (див. конечноразностного методи)

стають неефективними в разі багатовимірних задач. Для знаходження необхідно звернення оператора що вимагає операцій, де точок на один вимір, - к-ть просторових вимірів, а а сильно зростає зі збільшенням т. Так, напр. для ур-ня теплопровідності.

Для отримання економічних стійких різницевих схем запропоновані методи, засновані на наступних ідеях: а) розщеплення різницевих схем, б) прибл. факторизации, в) розщеплення (слабкої апроксимації) дифф. ур-ний.

У разі ур-ня (відповідні різницеві схеми виглядають наступним чином (для простоти взяті 2 дрібних кроку):

а) схема розщеплення:

б) схема наближеної факторизації:

в) схема слабкою апроксимації:

У разі комутативний операторів схеми (2) і (3) еквівалентні за умови, що. І в тому і в іншому випадках звернення оператора замінюється зверненням оператора т. Е. Послідовним зверненням операторів, взагалі кажучи, більш простої структури. За умови має місце співвідношення прибл. факторизации

Трактування методу в) дозволяє розглядати схему розщеплення

як просту апроксимацію ур-ня (4), слабо аппроксимирующего ур-ня (1):

Т. о. в основі методу розщеплення лежить уявлення складних операторів через найпростіші, так що інтегрування вихідного ур-ня зводиться до інтегрування ур-ний більш простої структури. При цьому схеми дрібних кроків повинні задовольняти умовам апроксимації і стійкості тільки в остаточному підсумку (при записі їх в «цілих» кроках).

Методом розщеплення вирішуються багато складні завдання матем. фізики. До однієї з модифікацій методу розщеплення належить метод «частинок в осередках», широко використовуваний при вирішенні задач матем. фізики, в якому розщеплення не пов'язане зі зниженням розмірності операторів.

Існує зв'язок між схемами розщеплення і теорією напівгруп, а саме: декомпозиція інфінітезімальних операторів напівгрупи має пряме відношення до схем розщеплення. Однак метод розщеплення більш змістовний не тільки практично (т. К. Він забезпечує побудову економічних різницевих схем), а й теоретично, оскільки декомпозиція операторів в методі розщеплення відбувається при значно слабших припущеннях.

Велике розвиток отримали схеми розщеплення підвищеного порядку точності, і досягнуто певного прогресу в їх ефективної реалізації.

Літ. Яненко Н. Н. Метод дрібних кроків вирішення багатовимірних задач математичної фізики. Одеса, 1967 [бібліогр. с. 189-193]; Самарський А. А. Введення в теорію різницевих схем. М. тисячу дев'ятсот сімдесят один [бібліогр. с. 538-550]. І. Н. Яненко.