Дослідження функцій за допомогою похідної, lampa - онлайн-підручник, який кожен може поліпшити
монотонна функція
Зростаюча функція на відрізку [a. b] [a, b] [a. b] (або інтервалі, або безлічі) - це така функція f (x) f (x) f (x). що для будь-яких x 1 Спадна функція на відрізку [a. b] [a, b] [a. b] (або інтервалі, або безлічі) - це така функція f (x) f (x) f (x). що для будь-яких x 1 Якщо функція є спадною або зростаючої, то вона називається монотонної функцією. Приклад: функція y = ln x y = \ ln x y = ln x є зростаючою. x 0 x_0 x 0 - точка максимуму функції f (x) f (x) f (x). якщо для всіх досить близьких точок x x x вірно нерівність f (x) ≤ f (x 0) f (x) \ le f (x_0) f (x) ≤ f (x 0). x 0 x_0 x 0 - точка мінімуму функції f (x) f (x) f (x). якщо для всіх досить близьких точок вірно нерівність f (x) ≥ f (x 0) f (x) \ ge f (x_0) f (x) ≥ f (x 0). Функція f (x) f (x) f (x) зростає на проміжку (a; b) (a; b) (a; b). якщо похідна f '(x)> 0 f # x27; (x) \ gt 0 f' (x)> 0 на цьому проміжку. Функція f (x) f (x) f (x) убуває на проміжку (a; b), якщо похідна f '(x) <0 f'(x)\lt 0 f ′ ( x ) <0 на этом промежутке. Якщо функція f (x) f (x) f (x) неперервна на проміжку (a; b) (a; b) (a; b). зростає на проміжку (a; x 0) (a; x_0) (a; x 0) і спадає на проміжку (x 0; b) (x_0; b) (x 0; b). то x 0 x_0 x 0 є точкою максимуму функції. Ознака максимуму функції виконується, якщо: Якщо функція f (x) f (x) f (x) неперервна на проміжку (a; b) (a; b) (a; b). убуває на проміжку (a; x 0) (a; x_0) (a; x 0) і зростає на проміжку (x 0; b) (x_0; b) (x 0; b). то x 0 x_0 x 0 є точкою мінімуму функції. Ознака мінімуму функції виконується, якщо: Точка, в якій похідна функції дорівнює нулю. У критичних точках дотична є горизонтальною лінією, так як тангенс кута нахилу дотичної (значення похідної в точці дотику) дорівнює нулю. Три типу критичних точок: x 2 x_2 x 2 - точка перегину, НЕ є точкою екстремуму. x 3 x_3 x 3 - точка локального максимуму. є точкою екстремуму; Задачі на знаходження точок екстремуму функції вирішуються за стандартною схемою в 3 3 3 кроку. Крок 1. Знайдіть похідну функції y '(x) = (x 3 - 2 4 3 x +1 9)' = 3 x 2 - 2 4 3. y # x27; (x) = (x ^ 3-243x + 19) # x27; = 3x ^ 2-243. y '(x) = (x 3 - 2 4 3 x +1 9)' = 3 x 2 - 2 4 3. 3 x 2 - 2 4 3 = 0 ⇔ x 2 = 8 1 ⇔ x 1 = - 9. x 2 = 9. 3x ^ 2-243 = 0 \, \, \, \, \ Leftrightarrow \, \, \, \, x ^ 2 = 81 \, \, \, \, \ Leftrightarrow \, \, \, \, x_1 = -9, \, \, \, \, x_2 = 9. 3 x 2 - 2 4 3 = 0 ⇔ x 2 = 8 1 ⇔ x 1 = - 9. x 2 = 9. Крок 3. Знайдіть точки екстремуму Застосуємо цей підхід, щоб вирішити таку задачу: Знайдіть точку максимуму функції y = x 3 - 2 4 3 x +1 9 y = x ^ 3-243x + 19 y = x 3 - 2 4 3 x +1 9. Для вирішення завдання на пошук найбільших і найменших значень функції необхідно. У багатьох задачах допомагає теорема. Якщо на відрізку тільки одна точка екстремуму. причому це точка мінімуму, то в ній досягається найменше значення функції. Якщо це точка максимуму, то в ній досягається найбільше значення.
Приклад: функція y = - 3 x + 2 y = -3x + 2 y = - 3 x + 2 є спадною.точки екстремуму
Ознака зростання та спадання функції
Ознаки максимуму і мінімуму функції
критична точка
Як шукати точки максимуму і мінімуму функції
1) Знайдемо похідну: y '(x) = (x 3 - 2 4 3 x + 1 9)' = 3 x 2 - 2 4 3; y # x27; (x) = (x ^ 3-243x + 19) # x27; = 3x ^ 2-243; y '(x) = (x 3 - 2 4 3 x +1 9)' = 3 x 2 - 2 4 3;
2) Вирішимо рівняння y '(x) = 0 y # x27; (x) = 0 y' (x) = 0. 3 x 2 - 2 4 3 = 0 ⇔ x 2 = 8 1 ⇔ x 1 = - 9. x 2 = 9 3x ^ 2-243 = 0 \, \, \, \, \ Leftrightarrow \, \, \, \, x ^ 2 = 81 \, \, \, \, \ Leftrightarrow \, \ , \, \, x_1 = -9, \, \, \, \, x_2 = 9 3 x 2 - 2 4 3 = 0 ⇔ x 2 = 8 1 ⇔ x 1 = - 9. x 2 = 9
3) Похідна позитивна при x> 9 x \ gt 9 x> 9 і x <− 9 x\lt -9 x <− 9 и отрицательная при − 9 Як шукати найбільше та найменше значення функції