Динамічні задачі, що приводяться до завдань статичного розрахунку систем

§ 2.14. Динамічні ЗАВДАННЯ, що приводяться до ЗАДАЧ СТАТИЧНОЇ РОЗРАХУНКУ СИСТЕМ

Розглянемо балку постійного перерізу, підвішену на тросі крана (рис. 1.14, а); ця балка вигнута в результаті дії її власної ваги. Після включення двигуна крана перетин А балки, в якому до неї прикріплений трос, починає підніматися з деяким прискоренням. При цьому виникають сили інерції, розподілені по довжині осі балки. Інтенсивність їх визначається формулою (3.14).

На рис. 1.14, б показані навантаження, що діють на балку. Рівномірно розподілене навантаження інтенсивністю q являє собою власну вагу балки, а навантаження - інерційні сили. Сила (зусилля в тросі) дорівнює за величиною рівнодіюча навантажень q і і спрямована в протилежний бік, т. Е. Врівноважує ці навантаження.

Інерційні сили виникають після включення двигуна крана і викликають вигин балки (додатково до вигину від дії власної ваги q). В результаті вигину різні перетину балки переміщуються при підйомі з різними прискореннями я. Тому в загальному випадку інтенсивність інерційної навантаження змінна по довжині балки.

В окремих випадках, наприклад коли жорсткість балки при вигині вельми велика або коли перетин, в якому балка прикріплена до троса (рис. 1.14), піднімається на значну висоту з постійним прискоренням, впливом деформацій балки, викликаних інерційними силами на величини прискорень а можна знехтувати. У цих випадках можна вважати, що прискорення всіх перерізів балки однакові і рівні прискоренню перетину, а навантаження рівномірно розподілене по довжині балки.

Аналогічно і при вирішенні ряду інших динамічних задач можна нехтувати впливом деформацій системи на розподіл в ній прискорень, а отже, і на розподіл інерційних сил. Такі завдання розглянуті нижче.

У якості першої задачі розглянемо розрахунок вертикального бруса постійного перерізу, що піднімається вгору силою S, що перевищує вагу бруса G (рис. 2.14, а). Крім сили 5 на брус діють рівномірно розподілена по його довжині вертикальне навантаження інтенсивністю від власної ваги бруса і інерційна навантаження

Прискорення а направлено в сторону дії сили, т. Е. Вгору; величину його приймаємо однаковою для всіх поперечних перерізів бруса. Тому навантаження рівномірно розподілене по довжині бруса і спрямована в бік, протилежний прискоренню, т. Е. Вниз.

Складаємо рівняння рівноваги у вигляді суми проекцій всіх сил на вертикальну вісь

Нормальна напруга в поперечному перерізі бруса, що розташовується на відстані на відстань від його нижнього кінця,

Найбільша напруга виникає у верхньому перетині бруса:

Розглянемо тепер горизонтальний брус, що піднімається вгору силою S, яка додається посередині бруса (рис. 3.14, а).

Інерційна навантаження визначається, як і в попередньому випадку, за формулою (4.14).

Інтенсивність повної погонного навантаження, що складається з власної ваги q і інерційної навантаження дорівнює (рис. 3.14, б, в)

Сила 5 і навантаження викликають вигин бруса. Епюри згинальних моментів М і поперечних сил Q показані на рис. 3.14, г, д.

Враховувати вплив сил інерції доводиться, зокрема, при розрахунку споруд, розташованих в місцевостях, схильних до землетрусів. При землетрусі земна поверхня і частини споруд, закріплені в грунті, переміщаються з деякими ускорениями, в результаті чого споруди відчувають дію сил інерції. На ці сили повинен бути проведений розрахунок споруд. Розрахункова величина найбільшого прискорення руху земної поверхні встановлюється спеціальними технічними умовами в залежності від сили землетрусу (яка характеризується в балах); ця величина може досягати і більш.

Складемо вираз згинальних моментів в поперечних перетинах високою фабричної труби (рис. 4.14, а), викликаних інерційними силами, що виникають під час землетрусу в результаті горизонтального переміщення поверхні з прискоренням а.

Нехтуючи деформаціями труби, викликаними цими силами, приймаємо горизонтальні прискорення всіх точок труби однаковими і рівними я.

Площа поперечного перерізу труби на відстані від її верхнього кінця

Інерційні сили спрямовані назад прискорень а й, отже, горизонтальні. Інтенсивність їх на відстані від верху труби, віднесена до одиниці довжини труби [см. формулу (3.14)],

Епюра інерційних сил - показана на рис. 4.14, б. Вона може розглядатися складається з прямокутника, трикутника і квадратної параболи.

Згинальний момент М в перетині викликаний силами інерції (див. Рис. 4.14, б),

Тепер розглянемо горизонтальний стрижень АВ постійного перетину F довжиною (рис. 5.14, а), рівномірно обертається навколо вертикальної осі

При рівномірному обертанні прискорення частинок стрижня, розташованих на відстані від осі обертання (доцентрові прискорення), спрямовані до цієї осі і, як відомо з курсу теоретичної механіки, визначаються за формулою

де - кутова швидкість.

Інерційні сили (відцентрові сили) спрямовані по радіусах від осі обертання. Інтенсивність їх, віднесена до одиниці довжини стрижня [см. формули (3.14) і (5.14)],

Епюра показана на рис. 5.14, б.

Формулу (6.14) можна використовувати при визначенні сил інерції, що діють на стрижневі системи, що обертаються навколо будь-якої осі.

Сили інерції викликають розтягнення розглянутого стержня. Поздовжня сйла N в перерізі стержня, розташованому на відстані від осі обертання, дорівнює площі епюри на ділянці від цього перетину до кінця стержня:

Найбільше значення поздовжня сила має посередині стержня, т. Е. При

Епюра поздовжніх сил в стрижні показана на рис. 5.14, в.