Диференціальні залежності між внутрішніми зусиллями при вигині - студопедія

Розглянемо розрахункову схему балки з довільної розподіленим навантаженням (рис.2).

Рис.2. Схема вигину балки:
а) розрахункова модель, б) фрагмент балки

Складемо рівняння рівноваги:

Таким чином, дійсно: перша похідна від внутрішнього згинального моменту по лінійної координаті дорівнює поперечній силі в перерізі.

Це відоме властивість функції і її першої похідної успішно використовується при перевірці правильності побудови епюр. Так, для розрахункової схеми консольної балки (рис.1) цей зв'язок дає наступні перевірочні результати:

Розглянемо другий характерний приклад вигину двухопорной балки (рис.3).

а) розрахункова схема, б) модель першої ділянки, в) модель другої ділянки, г) епюра поперечних сил, д) епюра згинальних моментів

Рис.3. Вигин двухопорной балки:

Очевидно, що опорні реакції RA = RB:

• для другої ділянки (рис.3 в) -

Епюри внутрішніх зусиль представлені відповідно на рис.3 г і 3 д.

На основі диференціальної зв'язку Q і М. отримаємо:

Q> 0 і М зростає від нуля до.

Q = const і M x

Q <0 и М убывает с до нуля.

Q = const і M також пропорційний х. тобто змінюється за лінійним законом.

Небезпечним в даному прикладі є перетин балки в центрі прольоту:

Третій характерний приклад пов'язаний з використанням розподіленої по довжині балки навантаження (рис.4). Дотримуючись методикою, прийнятою раніше, очевидно рівність опорних реакцій:, а для шуканого перетину (рис.4 б) вираження для внутрішніх зусиль набувають вигляду:

а) розрахункова схема, б) відтята частина, в) епюра поперечних сил, г) епюра внутрішніх згинальних моментів

Рис.4 двухопорного балка з рівномірно розподіленим навантаженням:

На обох опорах вигинає момент відсутня. Тим не менш небезпечним перетином балки буде центр прольоту при. Дійсно, виходячи з властивості функції і похідною при, внутрішній згинальний момент досягає екстремуму. Для знаходження вихідної координати х0 (рис.4 в) в загальному випадку прирівняємо вираз поперечної сили до нуля. В результаті отримаємо

Після підстановки в вираз згинального моменту отримаємо:

Необхідно відзначити, що техніка побудови епюр при вигині найбільш важко засвоюється слухачами. Вам надається можливість навчитися «швидкому» побудови епюр на Тесторе-тренажері, наведеному в Додатку і вирішити в вихідних тестах з опору матеріалів Вам знайомі з постановки задачі позиції.

Лекція № 5. Поняття про напруги і деформації

Як зазначалося вище, внутрішні сили, що діють в деякому перетині з боку відкинутої частини тіла, можна привести до головного вектору та головного моменту. Зафіксуємо точку М в перерізі з одиничним вектором нормалі n. В околиці цієї точки виділимо малу площадку F. Головний вектор внутрішніх сил, що діють на цьому майданчику, позначимо через P (рис. 1 а). При зменшенні розмірів майданчика відповідно

Рис.1. Композиція вектора напруги.
а) вектор повної напруги б) вектор нормального і дотичного напружень

зменшуються головний вектор і головний момент внутрішніх сил, причому головний момент зменшується більшою мірою. У межі при одержимо

Аналогічний межа для головного момент дорівнює нулю. Введений таким чином векторрn називається вектором напруги в точці. Цей вектор залежить не тільки від діючих на тіло зовнішніх сил і координат даної точки, але і від орієнтації в просторі майданчики F. характеризується вектором п. Сукупність усіх векторів напруг в точці М для всіляких напрямків вектора п визначає напружений стан в цій точці.

У загальному випадку напрямок вектора напряженійрn не збігається з напрямком вектора нормалі п. Проекція векторарn на напрямок вектора п називається нормальним напругою, а проекція на площину, що проходить через точку М і ортогональную векторуn, - дотичним напруженням (рис. 1 б).

Розмірність напружень дорівнює відношенню розмірності сили до розмірності площі. У міжнародній системі одиниць СІ напруги вимірюються в паскалях: 1 Па = 1 Н / м 2.

При дії зовнішніх сил поряд з виникненням напруг відбувається зміна обсягу тіла і його форми, т. Е. Тіло деформується. При цьому розрізняють початкове (недеформоване) і кінцеве (деформований) стану тіла.

Віднесемо недеформоване тіло до декартовій системі координат Oxyz (рис. 2). Положення деякої точки М в цій системі координат визначається радіус-вектором r (х, у, z). У деформованому стані точка М займе нове положення М /, що характеризується радіус-вектором r '(х, у, z). Вектор u = r'-r називається вектором, переміщень точки М. Проекції вектора u на координатні осі визначають компоненти вектора переміщень і (х, у, z), v (х, у, z), w (х, у, z) , рівні різниці декартових координат точки тіла після і до деформації.

Переміщення, при якому взаємне розташування точок тіла не змінюється, не супроводжується деформаціями. У цьому випадку говорять, що тіло переміщається як жорстке ціле (лінійне переміщення в просторі або поворот щодо деякої точки). З іншого боку, деформація, пов'язана зі зміною форми тіла і його обсягу, неможлива без переміщення його точок.

Рис.2. Композиція вектора переміщення

Деформації тіла характеризуються зміною взаємного розташування точок тіла до і після деформації. Розглянемо, наприклад, точку М і близьку до неї точку N, відстань між якими в недеформованому стані вздовж напрямку вектора s позначимо через (рис. 2). У деформованому стані точки М і N перемістяться в нове положення (точки М 'і N'), відстань між якими позначимо через s '. границя відношення

називається відносної лінійної деформацією в точці М в напрямку вектора s, рис.3. Розглядаючи три взаємно перпендикулярних напрямки, наприклад, уздовж координатних осей Ох, Оу і Oz. отримаємо три компоненти відносних лінійних деформацій характеризують зміну обсягу тіла в процесі деформації.

Для опису деформацій, пов'язаних зі зміною форми тіла, розглянемо точку М і дві близькі до неї точки N і Р, розташовані в недеформованому стані в напрямку двох взаємно ортогональних векторів s1 і s2. Відстані між точками позначимо через і (рис. 4). У деформованому стані положення точок позначимо через М ', N' і Р '. Кут між відрізками M'N 'і М'Р' в загальному випадку буде відмінним від прямого. При, зміна кута між двома ортогональними до деформації напрямками називається кутовою деформацією. Як видно з рис. 4, кутова деформація складається з двох кутів і, пов'язаних з поворотами відрізків M'N 'і М'Р' 'в.плоскості, утвореної векторами s1 і s2. щодо цих векторів. Якщо задані три взаємно ортогональних вектора, спрямованих уздовж координатних осей, то є три кутові деформації, і, які разом з трьома лінійними деформаціями, і повністю визначають деформований стан в точці.

Рис.3. Композиція лінійної деформації

Мал. 4. Композиція кутовий деформації