Діагностика математичних здібностей

У нерозривному зв'язку з проблемою розвитку математичних здібностей знаходиться проблема їх діагностики у школярів, головним завданням якої є встановлення якісного своєрідності розумової діяльності учня в процесі вирішення математичних задач, т. Е. Стилю його мислення.

У школярів індивідуальні якості мислення виражені слабо, про стилі математичного мислення учнів, наприклад 5-6 класів, можна говорити лише умовно. Але вже і у них на певному рівні математичного розвитку починає проявлятися своєрідність і «тенденція» в використанні прийомів думки, методів вирішення завдань, в залученні образів уяви, в особливості інтуїції та здогади.

Психологи встановили, що раніше прояв «свого» стилю математичного мислення - ознака математичної обдарованості. Отже, можливо раннє виявлення математичних здібностей школярів - одна з найважливіших завдань навчання математики.

Здібності визначаються в діяльності. Основний вид математичної діяльності школярів - це вирішення завдань. Але підбір завдань для діагностики математичних здібностей пов'язаний з певними труднощами. Такими завданнями можуть бути особливого виду завдання - тести, виконання яких дозволило б встановити якісні особливості, і рівень розвитку математичних здібностей учня, виявити стиль його математичного мислення.

До завдань-тестів діагностики математичних здібностей слід пред'явити такі вимоги:

1) умова завдання не повинно орієнтувати на способи вирішення, воно повинно бути нейтральним по відношенню до них;

2) потенційно завдання повинні містити безліч різних підходів і способів вирішення;

3) завдання повинні служити не тільки діагностиці здібностей, але і їх формування.

Наводжу приблизний тест (з рішеннями), характерною особливістю якого є багатоаспектність в підході до його вирішення.

Завдання. Прилетіли галки, сіли на палиці, по одній Галці на кожну палицю, при цьому однією Галці не вистачило палиці. Якби на кожну палицю сіли б за дві галки, то одна палка виявилася б незайнятої. Скільки було галок і скільки було палок?

Рішення 1. (алгоритмічний підхід). Вводимо позначення невідомих: палиць було Х, галок було У. З першої умови складаємо рівняння Х = У-1; З другої умови слід: 2 (Х-1) = У. Отримуємо систему:

рішення якої призводить до відповіді. Х = 3; У = 4.

Рішення 2. (наочно-образний підхід). Нехай було якесь число палиць. Зобразимо їх і посадимо на кожну палицю по одній Галці. При цьому, згідно з умовою, однією Галці не вистачає палиці. Вона літає.

Тепер посадимо літаючу галку на першу палицю, а з останньої палиці пересадимо галку на другу (зліва) палицю. При цьому одна палиця залишилася незайнятою. Далі процес пересадки галок не може тривати, т. К будуть вільні вже не одна палиця, а дві, що суперечить умові. Очевидно, що для того, щоб задовольнити умові завдання, необхідно, щоб палиць було 3, а галок 4. Завдання вирішена.

Рішення 3. (використавши метод проб і помилок, з проявом схильності до лічильно-математичних операцій). Припустимо, що палиць було 10, тоді галок - 11. Але тут відразу ж виникає протиріччя: 11 галок не можна розсадити по 2 на кожну палицю. Отже, галок було парне число, а палиць на одиницю менше - непарне число. Нехай, палиць було 7, а галок 8. тоді дві галки займуть (8: 2 = 4) палиці, що ні на одиницю, а на 3 палиці менше, ніж 7. Нехай палиць 5, галок 6. Тоді по дві галки розмістяться на 3 палицях. Знову протиріччя: дві палиці залишаться незайнятими, а не одна. Нехай палиць 3, галок 4. Тоді по дві галки сядуть на 2 палиці, а одна палиця (3-2 = 1) залишиться незайнятою. Вийшло. Отже, палиць було 3, галок 4.

Рішення 4. (логічне, з використанням наочності). Очевидно, що число галок парне (це безпосередньо випливає з другої умови), тобто 2n (n є N), а число палиць на одиницю менше, тобто 2n-1. Якщо на кожну палку сядуть за дві галки, то вони займуть n палиць. Маємо. 2n більше 2n-1 на 1 і 2n-1 більше n на 1. Це можна зобразити наочно у вигляді діаграми. З діаграми ясно, що якщо 2n більше 2n-1 на 1 і 2n-1 більше n на 1, то 2n більше n на 2. Звідки випливає, що n = 2. Тоді 2n-1 = 3, 2n = 4. Число галок 4, число палиць 3.

Рішення 5. (логічний підхід з використанням на завершальному етапі рішення методу випробувань). Очевидно, що число галок парне, тобто 2n (n є N), а число палиць, виходячи з першого умови, непарне, тобто 2n-1. Якщо на кожну палку сядуть за дві галки, то вони займуть 2n: 2 = n палиць. Число n - парне, т.к на 1 менше непарного числа (друга умова) 2n-1. Нехай n = 2m (m є N), тоді 2n-1 = 4m-1. Звідки випливає, що число галок 2n = 4 кратно чотирьом; а число палиць 2n-1 = 4m-1 при діленні на 4 дасть поза стінами вузу 3. Випишемо ці числа попарно. 3 і 4, 7 і 8, 11 і 12, 15 і 16 і т. Д. Шляхом випробувань переконуємося, що тільки перша пара чисел (3 і 4) задовольняє всім умовам завдання. Отже, палиць було 3, а галок 4.

Рішення 6. (індуктивний підхід, при дослідженні використовуємо метод математичної індукції). Припустимо, що була всього одна палиця. Тоді, згідно з першою умовою, галок було 2. Якщо на кожну палку сядуть 2 галки, то вільних палиць не опиниться, що суперечить другій умові. Цей варіант відпадає.

Припустимо, що палиць було дві, тоді галок має бути три. Але три галки не можуть сісти за дві на кожну палицю, що потрібно другою умовою. Отже, і цей варіант відпадає.

Припустимо, що палиць було 3, тоді галок було 4. Перша умова задовольняється. Друга умова також задовольняється. Отже, числа 3 (палиці) і 4 (галки) є рішенням задачі.

Але, може бути, завдання має і інші рішення?

Певне, треба спробувати вирішити задачу в загальному вигляді. Застосуємо метод математичної індукції. Припустимо, що палиць було n, тоді галок має бути n + 1. Для n = 3 умови задачі задовольняються. Припустимо, існує таке натуральне число k, що для n = 3k умови задачі теж виконуються, тоді, згідно з другим умові, матимемо. 2 (k + 3-1) = 3 + k + 1; звідки k = 0. Отже, рішення задачі єдине.

1) важливо виявити загальну схильність учня до математики ( «учень повинен любити математику»), а встановити властивий йому спосіб мислення, його стиль;

2) розвиток математичних здібностей учня повинно здійснюватися з урахуванням індивідуальних особливостей мислення;

3) формування стилю математичного мислення повинно бути цілеспрямованим з орієнтацією на ту область людської діяльності або професію, яка найближче відповідає математичним інтересам, скелю розуму учня.