Декартова система координат на площині - студопедія

Таким чином, щоб знайти координати точки М, потрібно розкласти вектор за базисом e1, e2:

тоді числа х і у будуть координатами точки М в обраній системі координат. В силу розглянутої вище теореми про розкладання вектора по базису таке розкладання єдине; в обраному базисі положення точки однозначно визначається парою чисел (х. у) - координатами точки. Координату х називають абсцисою точки М, координату у - ординатою точки М.

Серед декартових систем координат найпростішої є прямокутна декартова система координат.

Базисні вектори e1, e2 прямокутної декартової системи координат на площині є ортонормованій базис евклідового простору R 2.

Дві взаємно перпендикулярні прямі, що проходять через О і паралельні відповідно векторах e1 іe2. називають осями координат. Першу з них зазвичай називають віссю абсцис і позначають Ох, другу - віссю ординат і позначають Оу. Одиничні вектори осі Ох і осі Оу, рівні базисних векторах e1 іe2. відповідно, зазвичай позначають. Декартову прямокутну систему координат на площині будемо позначати Оху.

Визначимо операції над векторами, заданими координатами в декартовій прямокутній системі координат, відповідно до правил, визначених для векторів векторного простору.

Нехай дано точки і. Знайдемо координати вектора. Маємо =, =, або =, =. Віднімаючи з другого рівності найперше, отримуємо

Таким чином, координати вектора = ().

Твором вектора = () на число k буде вектор k =.

Скалярний добуток двох векторів в декартовій прямокутній системі координат можна визначити за формулою (1.19) або за формулою (1.14). Формула (1.10) дає можливість обчислити кут між векторами.

Відстань між точками А і В на площині можна інтерпретувати як довжину вектора, тому

Приклад. Дано точки А (1, -3) і В (-2,1). Обчислити кут, який вектор становить з позитивним напрямком осі Оу.

○ Позитивний напрямок осі Оу визначається одиничним вектором цієї осі. Знайдемо координати і довжину вектора:

Скалярний добуток векторів і знайдемо за формулою (1.19): (,) = -3 × 0 + 4 × 1 = 4. Тепер за формулою (1.10) знаходимо кут між векторами і:; . # 9679;