Дайте визначення підпростору лінійного простору

Визначення лінійного простору.

Безліч V називається лінійним простором, а його елементи 0 веторамі, якщо на ньому визначені 2 операції:

· Сума векторів, що означає, що кожним двох векторах по деякому правилу ставиться у відповідність третій вектор, званий сумою векторів і позначається

· Множення вектора на число, що означає, що кожній парі, що складається з вектора і числа # 955 ;, ставиться у відповідність вектор, званий твором # 955; на який позначають # 955; .

Зазначені операції повинні відповідати таким вимогам (аксіом):

3) існує нульовий елемент. такий, що

4) для кожного елемента існує протилежний елемент -. такий, що

5) # 955; () = # 955; + # 955;

6) (# 955; + # 956;) = # 955; + # 956;

7) # 955; (# 956;) = (# 955; # 956;)

Де. і - довільні елементи V, а # 955; і # 956; - довільні дійсні числа, які прийнято називати скалярами.

Дайте визначення підпростору лінійного простору.

Нехай V-лінійне простір, а L-довільна підмножина (L V). Підмножина L називається подпространством лінійного простору V, якщо вона сама є лінійним простором щодо тих же операцій додавання і множення на число, що визначені в

1) для будь-яких двох векторів з L їх сума також належить L

2) для будь-якого вектора з L і будь-якого дійсного числа # 955; твір # 955; також належить L

1) Безліч всіх многочленів, заданих на відрізку [a; b] -подпространством лінійного простору функцій, заданих на цьому відрізку.

2) Безліч всіх многочленів, ступінь яких не перевищує n-1, є подпространством безлічі многочленів, ступінь яких не перевищує n.

3) Безліч рішень однорідної системи лінійних рівнянь з n невідомими є подпространством простору R.

dim V≥dim L, де V-лінійне простір, L-його подпростр-во.

· Підпростір лінійного простору є лінійний простір

· Розмірність підпростору не більш розмірності лінійного простору.

· Якщо e1. e2. e3 - базис підпростору лінійного простору, то