Чотирикутники, види і властивості

Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок (вершин) і чотирьох відрізків (сторін), які послідовно з'єднують вершини. При цьому ніякі три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а що з'єднують їх відрізки не повинні перетинатися.

Чотирикутник називається опуклим, якщо він розташований в одній півплощині відносно прямої, яка містить будь-яку з його сторін.

Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 °:

Не існує чотирикутників, у яких всі кути гострі або всі кути тупі.

Кожен кут чотирикутника завжди менше суми трьох інших кутів:

∠A <∠B+∠C+∠D. ∠B <∠A+∠C+∠D.

∠C <∠A+∠B+∠D. ∠ D <∠A+∠B+∠D .

Кожна сторона чотирикутника завжди менше суми трьох інших сторін:

Площа довільного опуклого чотирикутника дорівнює:

Діагоналями чотирикутника називаються відрізки, що з'єднують його протилежні вершини.

Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються, а неопуклого - немає.

Площа довільного опуклого чотирикутника:

Якщо M. N. P. Q - середини сторін опуклого чотирикутника ABCD. а R. S - середини його діагоналей, то чотирикутники MNPQ. MRPS. NSQR є паралелограма і називаються паралелограма Варіньона.

Форма і розміри паралелограмів Варіньона пов'язані з формою і розмірами даного чотирикутника ABCD. Так MNPQ - прямокутник, якщо діагоналі чотирикутника ABCD перпендикулярні; MNPQ - ромб, якщо діагоналі чотирикутника ABCD дорівнюють; MNPQ - квадрат, якщо діагоналі чотирикутника ABCD перпендикулярні і рівні;

Відрізки MP. NQ і RS називаються першою, другою і третьою середніми лініями опуклого чотирикутника.

У параллелограмме, і тільки в ньому, середини діагоналей збігаються, і тому третя середня лінія вироджується в точку. Для інших чотирикутників середні лінії - відрізки.

Всі середні лінії чотирикутника перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл:

Сума квадратів середніх ліній чотирикутника дорівнює чверті суми квадратів всіх його сторін і діагоналей:

MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 + AC 2 + BD 2).

Якщо β - кут між першою і другою середніми лініями чотирикутника, то його площа:

SABCD = MP · NQ · sin β.

Рівними плитками, які мають форму довільного, не обов'язково опуклого, чотирикутника можна замостити площину так, щоб не було накладень плиток один на одного і не залишилося непокритих ділянок площині.

Чотирикутник називається описаним близько кола (описаним), якщо існує така окружність, яка стосується всіх його сторін, тоді сама окружність називається вписаною.

Чотирикутник є описаним тоді і тільки тоді, коду суми його протилежних сторін рівні:

Для сторін описаного чотирикутника і радіуса вписаного в нього кола вірно:

Площа описаного чотирикутника:

де r - радіус вписаного кола, p - напівпериметр чотирикутника.

Площа описаного чотирикутника:

Центр вписаною в чотирикутник кола є точкою перетину биссектрис всіх чотирьох кутів цього чотирикутника.

Точки дотику вписаного кола відтинають рівні відрізки від кутів чотирикутника:

AK = AN. BK = BL. CL = CM. DM = DN.

Якщо O - центр кола, вписаного в чотирикутник ABCD, то

∠AOB + ∠COD = ∠BOC + ∠AOD = 180 °.

Для описаного чотирикутника ABCD зі сторонами AB = a. BC = b. CD = c і AD = d вірні співвідношення:

Чотирикутник називається вписаним в коло (вписаним), якщо існує коло, що проходить через всі його вершини, тоді сама окружність називається описаної близько чотирикутника.

Опуклий чотирикутник є описаним тоді і тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює 180 °:

∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180 °.

Центр описаного навколо чотирикутника кола є точкою перетину всіх чотирьох серединних перпендикулярів сторін цього чотирикутника.

Перша теорема Птолемея. Опуклий чотирикутник тоді і тільки тоді є вписаною, коли виконується рівність:

Друга теорема Птолемея. Опуклий чотирикутник тоді і тільки тоді є вписаною, коли виконується рівність:

Радіус кола, описаного навколо чотирикутника:

Площа вписаного чотирикутника:

Діагоналі опуклого чотирикутника розбивають кожен його кут на два кути. Кути, що спираються на одну сторону, називаються пов'язаними кутами.

Опуклий чотирикутник є вписаною тоді і тільки тоді, коли у нього є хоча б одна пара рівних пов'язаних кутів.

У вписаного чотирикутника будь-які два пов'язаних кути рівні.

Якщо чотирикутник одночасно є описаним і вписаним, то його площа:

Для радіусів описаної і вписаною кіл даного чотирикутника і відстані між центрами цих кіл виконується співвідношення:

Параллелограммом називається чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні:

У паралелограма протилежні сторони рівні і протилежні кути рівні:

∠A = ∠C. ∠B = ∠D.

Сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180 °:

∠A + ∠ B = ∠ B + ∠ C = ∠ C + ∠ D = ∠ A + ∠ D = 180 °.

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл:

Кожна діагональ ділить паралелограм на два рівних трикутника:

∠ ABC = ∠ CDA; ∠ ABD = ∠ CDB.

Дві діагоналі паралелограма ділять його на чотири рівновеликих трикутника:

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін:

e 2 + f 2 = a 2 + b 2 + a 2 + b 2 = 2 (a 2 + b 2).

• Якщо у чотирикутника протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник - паралелограм.
• Якщо у чотирикутника дві протилежні сторони рівні і паралельні, то цей чотирикутник - паралелограм.
• Чотирикутник, діагоналі якого в точці перетину діляться навпіл - паралелограм.
• Якщо у чотирикутника протилежні кути попарно рівні, то цей чотирикутник - паралелограм.

Висотою паралелограма називається перпендикуляр, проведений з вершини паралелограма до непрілежащей стороні:

Площа паралелограма можна визначити:

• через його сторону і висоту, проведену до неї:

• через дві його сторони і кут між ними:

S = ab · sin γ.

Трапецією називається чотирикутник у якого тільки дві протилежні сторони паралельні:

Паралельні сторони називаються підставами трапеції, непаралельних - бічними сторонами.

Висота трапеції - перпендикуляр, проведений з довільної точки одного підстави трапеції до прямої, що містить іншу підставу трапеції.

Середньою лінією (першої середньої лінією) трапеції називається відрізок, який з'єднує середини бічних сторін даної трапеції:

Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює їх напівсумі:

KL = ½ (AD + BC).

При продовженні до перетину бічних сторін трапеції утворюються два подібних трикутника з коефіцієнтом подібності, рівним відношенню основ:

δ AED ∼ δ BEC. k = AD / BC.

Трикутники, утворені основами і відрізками діагоналей подібні з коефіцієнтом подібності, рівним відношенню основ:

δ AОD ∼ δ Cов. k = AD / BC.

Площі трикутників, утворених бічними сторонами і відрізками діагоналей трапеції, рівні:

Відрізок, що з'єднує середини підстав (друга середня лінія) трапеції, проходить через точку перетину діагоналей, а його продовження - через точку перетину продовжень бічних сторін:

Відрізок, що з'єднує середини діагоналей (третя середня лінія) трапеції, паралельний підставах і дорівнює їх полуразность:

RS = ½ (AD-BC).

У трапецію можна вписати коло, якщо сума її основ дорівнює сумі бічних сторін:

Центром вписаною в трапецію кола є точка перетину биссектрис внутрішніх кутів трапеції.

У трапецію АВСD з підставами AD і BC можна вписати коло тоді і тільки тоді, коли виконується хоча б одне з рівності:

Бічні сторони трапеції видно з центру кола, вписаного в дану трапецію, під прямим кутом:

∠ AOB = ∠ COD = 90 °.

Радіус вписаного в трапецію кола можна визначити:

• через відрізки, на які ділиться бічна сторона точкою дотику:

Равнобокой називається трапеція, у якої бічні сторони рівні:

У равнобокой трапеції:

• кути при основі рівні:

∠ A = ∠ D. ∠ B = ∠ C;

• сума протилежних кутів дорівнює 180 ?:

∠A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 180 °.

Близько трапеції можна описати коло тоді і тільки тоді, коли вона равнобокая.

Сторони і діагональ равнобокой трапеції пов'язані співвідношенням:

Трапеція називається прямокутної, якщо одна з її бічних сторін перпендикулярна підставах.

Площа трапеції можна визначити:

• через полусумму підстав (першу середню лінію) і висоту:

• через діагоналі і кут між ними:

Дельтоид називається чотирикутник, який має дві пари рівних сусідніх сторін.

Дельтоид може бути опуклим або неопуклого.

Прямі, що містять діагоналі будь-якого дельтоїда перетинаються під прямим кутом.

У будь-якому дельтоидов кути між сусідніми нерівними сторонами рівні.

Площа будь-якого дельтоїда можна визначити:

• через дві сусідні нерівні сторони і кут між ними:

У будь-який опуклий дельтоид можна вписати коло.

Якщо опуклий дельтоид не є ромбом, то існує коло, що стосується продовжень всіх чотирьох сторін даного дельтоїда.

Для неопуклого дельтоїда можна побудувати коло, що стосується двох сторін більшої довжини і продовжень двох менших сторін, а також коло, що стосується двох менших сторін і продовжень двох сторін більшої довжини.

Навколо дельтоїда можна описати коло тоді і тільки тоді, коли його нерівні сторони утворюють кути по 90 °.

Радіус кола, описаного навколо дельтоїда можна визначити через дві його нерівні сторони:

Чотирикутник називається ортодіагональним, якщо його діагоналі перетинаються під прямим кутом.

Чотирикутник є ортодіагональним тоді і тільки тоді, коли виконується одна з умов:

• для сторін чотирикутника вірно: a² + c² = b² + d ²;
• для площі чотирикутника вірно: S = ½ef;
• паралелограм Варіньона з вершинами в серединах сторін чотирикутника є прямокутником.

Сума квадратів протилежних сторін вписаного в коло ортодіагонального чотирикутника дорівнює квадрату діаметра описаного кола:

Ортодіагональний чотирикутник є описаним близько кола тоді і тільки тоді, коли твори його протилежних сторін рівні:

Якщо ABCD - ортодіагональний чотирикутник, описаний близько окружності з центром в точці О. то вірні співвідношення:

Давно збирався і ось, нарешті! Приблизно так виглядає історія нашої групи ВКонтакте. Сумніви в необхідності її існування відкинуті, і перші матеріали спільноти вже викладені.

Розширено функціональні можливості головного меню.