Центр мас суцільних тіл - студопедія

У попередньому параграфі ми ввели поняття центру мас системи матеріальних точок. У тому випадку, коли є суцільне тіло, завдання знаходження координат центру мас вирішується таким чином. Розподіл маси можна охарактеризувати фізичною величиною, званої щільністю тіла r. Якщо тіло однорідне, то його властивості однакові в усіх точках і щільність тіла дорівнює

де - маса тіла, а - його обсяг. Отже, щільність речовини - це маса одиниці об'єму. Якщо тіло неоднорідне, то його щільність в різних точках різна. В цьому випадку вона визначається як межа відносини маси укладеної в деякому малому обсязі. Звернемо увагу, що малий об'єм не стягується в точку. Він повинен бути з одного боку малим в порівнянні з обсягом тіла. а з іншого боку досить великим, щоб в нього входило досить велика кількість атомів. Тому маса i -ого елемента дорівнює.

Маса суцільного тіла дорівнює сумі мас цих малих елементів,
а в межі визначається інтегралом за обсягом тіла:

Якщо в формулах для координат центра мас (3.2.3) перейти від підсумовування до інтегрування, то координата центру мас визначається наступним виразом:

Аналогічні співвідношення матимуть місце і для інших координат центру мас.

Досить очевидно, що обчислення координат центру мас суцільного тіла являє собою досить складну математичну задачу. У той же час знання положення центру мас має дуже важливе значення в багатьох задачах механіки. У деяких випадках положення центру мас легко визначити з міркувань симетрії або шляхом досить простих розрахунків. Наведемо відомості про становище центру мас деяких тел.

Якщо тіло має симетрію і однорідне, то центр мас такого тіла лежить на осі симетрії.

1. Тонка однорідна прямокутна пластинка. З міркувань симетрії ясно, що її центр мас збігається з геометричним центром, тобто лежить в точці перетину діагоналей.

2. Однорідний прямокутний стрижень (паралелепіпед). З тих же міркувань ясно, що його центр мас знаходиться в геометричному
центрі.

3. Трикутник. Центр мас лежить в точці перетину його медіан.

4. Паралелограм. Центр мас лежить на перетині діагоналей.

5. Шар. Центр мас знаходиться в центрі кулі.

6. Однорідний диск (циліндр). Центр мас лежить в геометричному центрі.

Дуже часто використовують поняття центра ваги. Центр тяжкості - це точка, до якої прикладена рівнодіюча всіх сил тяжкості даного тіла. У загальному випадку центр ваги і центр мас можуть не збігатися.

Розглянемо ряд прикладів обчислення координат центру мас. Часто вдається тіло складної форми представити у вигляді суми тел, положення центрів мас яких відомо.

Приклад. Два кулі масами m1 = 3 кг і m2 = 5 кг скріплені стрижнем, маса якого m3 = 2 кг. Визначити положення загального центру мас, якщо R1 = 5 см, R2 = 7 см, а довжина стержня дорівнює 30 см (рис. 2.1).

Мал. 2.1. До визначення центру мас розподіленої системи

Перш за все, необхідно вибрати систему координат. Цей вибір довільний і ми помістимо початок координат в центрі першої кулі.
У цій системі координати центрів мас усіх тел відомі. Тому
маємо:

Виконавши чисельний розрахунок, отримаємо: Xc = 0,25 м, але обов'язково треба додати: від центру першої кулі.

Якщо ми початок координат помістимо в точку, де знаходиться центр мас стержня, то маємо:

Неважко показати, що центр мас знаходиться на відстані 0,05 м вправо від середини стрижня.

Приклад. Дві сторони дротяної рамки в формі рівностороннього трикутника зроблені з алюмінієвого дроту, а третя - з мідної. Дроту мають однакові перетину, а сторона трикутника дорівнює l = 1м. Щільності алюмінію і міді відповідно рівні (рис. 2.2.). Знайти положення центру мас системи.

Мал. 2.2. До визначення центру мас представленої системи

Положення центрів мас елементів рамки відомі - це середини їх відрізків. Але їх положення слід визначити в обраній системі координат. Помістимо початок координат в середину мідного відрізка
(Точка О3).

де - маси алюмінієвих стрижнів, а й - координати їх центрів мас, відповідно.

Оскільки довжини і перетину сторін трикутника однакові,
то маємо:

Даний приклад показує, що центр мас може лежати поза тілом. Крім того, оскільки сторони рамки виготовлені з різних матеріалів, т. Е. Тіло неоднорідне, то центр мас не лежить на перетині медіан.

Розглянуті приклади показують деякі прийоми визначення координат центру мас суцільних тіл. Природно, що ці прийоми не є універсальними, але часто можуть полегшити вирішення задачі.

Відзначимо важливість вказівки положення центру мас при описі руху тіла. Роль положення центру мас продемонструємо на наступних простих прикладах.