Актуарна математика 1

При побудові моделей захворюваності, смертності, виздоравліваемості від різних інфекційних та паразитарних хвороб (в даній роботі - від ВІЛ / СНІДу) широке застосування займають марковские моделі, використання яких дозволяє визначити перехідні ймовірності, а по ним характеристики, необхідні для розрахунків страхування. Марковська модель з багатьма станами забезпечує відповідний опис можливих випадків в багатьох областях, пов'язаних зі страхуванням.

Що таке актуарна математика?

В останні роки в нашій країні значні зміни відбулися в сфері додатків математики. Якщо раніше розвиток прикладної математики у вирішальній мірі стимулювало завдання природничих наук і пов'язаних з ними галузей промисловості (що в значній мірі явно або неявно визначалося військово - промисловим комплексом), то сьогодні труднощі в цих областях змусили математиків активно шукати нові сфери додатків своїх знань.

Актуарна математика - це область математики, яка займається математичними проблемами фінансів. Однією з найважливіших областей застосування є страхування. Наведемо короткий ілюстративний приклад. Людина певного віку укладає договір зі страховою компанією на певних умовах. Він купує за певну суму страхового поліса, щоб з часом йому або його спадкоємцям у разі його смерті була виплачена велика сума грошей. Страхова компанія при цьому також хоче отримати певний прибуток. Актуарна математика, широко використовує методи теорії ймовірності та математичної статистики, і покликана дати рекомендації, які були б привабливими як для клієнтів, так і для страхових компаній. Ця наука є теоретичною базою для розрахунку страхових премій по різним типам страхових контрактів. Тому актуарна математика називається часто "страховий математикою".

З цього визначення ясно, що актуарій повинен поєднувати в собі досить серйозну математичну кваліфікацію з кваліфікацією в області бізнесу - економічної та юридичної. Разом з відповідними економічними та юридичними дисциплінами актуарна математика утворює актуарну науку, яка в свою чергу є теоретичною основою актуарної діяльності.

Загальні відомості про ланцюгах Маркова

Марковские випадкові процеси названі по імені видатного українського математика А.А. Маркова (1856-1922), вперше почав вивчення ймовірнісної зв'язку випадкових величин і створив теорію, яку можна назвати «динамікою ймовірностей». Надалі основи цієї теорії з'явилися вихідною базою загальної теорії випадкових процесів, а також таких важливих прикладних наук, як теорія дифузійних процесів, теорія надійності, теорія масового обслуговування і т.д. В даний час теорія марковських процесів та її застосування широко застосовуються в самих різних областях таких наук, як механіка, фізика, хімія та інші.

Завдяки порівняльній простоті і наочності математичного апарату, високу вірогідність і точності одержуваних рішень особливу увагу Марковские процеси набули у фахівців, що займаються дослідженням операцій і теорією прийняття оптимальних рішень.

Марковские випадкові процеси відносяться до окремих випадків випадкових процесів. У свою чергу, випадкові процеси засновані на понятті випадкової функції.

Випадковою функцією називається функція, значення якої при будь-якому значенні аргументу є випадковою величиною. По іншому, випадкову функцію можна назвати функцію, яка при кожному випробуванні приймає будь-якої заздалегідь невідомий вид.

Як правило, вважають, що якщо аргументом випадкової функції є час, то процес, заснований на такій функції, називають випадковим. Також під випадковим процесом розуміють процес випадкового зміни станів будь-якої фізичної або технічної системи за часом або будь-якому іншому аргументу.

Неважко помітити, що якщо позначити стан і зобразити залежність, то така залежність і буде випадковою функцією.

Випадкові процеси класифікуються за видами станів і аргументу t. При цьому випадкові процеси можуть бути з дискретними або безперервними станами або часом.

Системи з безперервним часом припускають, що перехід системи з одного стану в інший може здійснюватися в будь-який момент часу, т. Е. Час перебування системи в кожному стані являє безперервну випадкову величину.

Для систем з дискретним часом час перебування системи в кожному стані фіксоване, а моменти переходів розміщуються на тимчасової осі через рівні проміжки і називаються "кроками" або "етапами". Час перебування системи в деякому стані являє дискретну випадкову величину.

Крім зазначених вище класифікацій випадкових процесів, існує ще одна важлива властивість. Це властивість описує вірогідну зв'язок між станами випадкових процесів.

Зупинимося докладніше на понятті марковської ланцюга. Відзначимо, по-перше, що випадковий процес з дискретними станами і часом називається випадковою послідовністю.

Якщо випадкова послідовність володіє марковским властивістю, то вона називається ланцюгом Маркова.

З іншого боку, якщо у випадковому процесі стану дискретні, час безупинно, то такий випадковий процес називається марковским процесом з безперервним часом.

Розрізняють марковские системи за кількістю станів, в яких знаходиться система: системи з кінцевим станом і системи з нескінченним станом.

Марковський випадковий процес називається однорідним, якщо перехідні ймовірності залишаються постійними в ході процесу і не залежать від номера випробування.

Модель марковської ланцюга може бути представлена ​​у вигляді орієнтованого зваженого графа, який являє собою сукупність вершин, що зображують можливі стану системи, і сукупність гілок, що зображують можливі переходи системи з одного стану в інший (малюнок 1). Кожній дузі відповідає перехідна ймовірність - це умовна ймовірність переходу системи на k -му кроці в стан за умови, що на попередньому (k-1) -му етапі система перебувала в стані.

Малюнок 1 - Модель марковської ланцюга

Марковська ланцюг називається однорідною, якщо перехідні імовірності не залежать від номера кроку. Якщо перехідні ймовірності змінюються від кроку до кроку, марковська ланцюг називається неоднорідною.

У деяких випадках, незважаючи на випадковість процесу, є можливість до певної міри керувати законами розподілу або параметрами перехідних ймовірностей. Такі марковские ланцюга називаються керованими. Очевидно, що за допомогою керованих ланцюгів Маркова особливо ефективним стає процес прийняття рішень.

Основною ознакою дискретної марковської ланцюга є детермінованість тимчасових інтервалів між окремими кроками (етапами) процесу. Однак, часто в реальних процесах ця властивість не дотримується і інтервали виявляються випадковими з яким-небудь законом розподілу, хоча Маркова процесу зберігається. Такі випадкові послідовності називаються напівмарковських.