4Оборот маятнік1

I Коротка теорія

Ф

изические маятником називається масивне тверде тіло, яке може здійснювати коливання відносно нерухомої горизонтальної осі. Точка перетину осі О з вертикальною площиною, що проходить через центр мас маятника (с), називається точкою підвісу маятника? (Рис.1).

Позначимо через rc відстань від осі обертання до центра мас. Маятник, виведений з положення рівноваги, буде здійснювати коливальний рух. Положення маятника, можна характеризувати кутом відхилення (

) Його від положення рівноваги. знаючи залежність(T) можна в будь-який момент часу визначити положення маятника.

Рух тіла відносно нерухомої осі визначається рівнянням моментів:

Момент зовнішніх сил Mвнеш складається з моменту сили тяжіння

і моменту сил тертя. Часто, в грубому наближенні, вважають, що тертям можна знехтувати. Момент імпульсу маятника

де J - момент інерції маятника щодо осі обертання.

З урахуванням рівності (2) і (3) рівняння моментів (1) можна переписати у вигляді:

У цьому рівнянні невідомою функцією є функція - кут відхилення маятника і її похідні по часу: кутова швидкість і кутове прискорення. Рівняння (4) справедливо при будь-амплітуді коливань маятника. Воно значно спрощується в разі малих коливань, коли кут відхилення маятника від положення рівноваги малий

, і можна прийняти. Для малих коливань рівняння руху маятника приймає вигляд:

Диференціальне рівняння другого порядку (5) має рішення у вигляді:

де А - амплітуда коливань,

Покажемо прямою підстановкою, що

в рівнянні (6) є рішенням рівняння (5). продифференцируем двічіпо часу

Підставами цей вислів в (5)

Отримане співвідношення задовольняється в будь-який момент часу за умови:

Отже, циклічна частота коливання маятника

Рівняння руху (

) Фізичного маятника в розглянутих умовах запишеться у вигляді:

Про

боротний маятник являє собою стрижень, на якому укріплені два масивних вантажу (сочевиці - ч), дві легкі опорні призми (п). які можна переміщати по стрижні і фіксувати за допомогою гвинтів в різних точках стрижня (рис.2).

Маятник може коливатися у вертикальній площині, спираючись нижнім ребром однієї з призм на закріплену опорну площадку.

Співвідношення (7) може бути використано для визначення прискорення вільного падіння g. Для цього необхідно ізмерітьT, J, rc.

Використання оборотного маятника (метод оборотного маятника) дозволяє визначити g, що не ізмеряяJ іrc. Справа в тому, що по обидва боки від центру мас оборотного маятника є положення опорних призм, при яких періоди коливань маятника збігається (див. Додаток).

Позначимо через rc1 іrс2 (rc1

rc2) положення опорних призм по різні боки від центру мас, при яких періоди коливань маятників збігаються

З урахуванням рівняння (7)

;

По теоремі Штейнера

З останнього рівняння висловимо момент інерції маятника, що коливається відносно центру мас

Визначивши J1 і підставивши в отриманий вираз в

Точно така ж формула виходить і для

Отже, прискорення вільного падіння можна визначити за формулою:

Для знаходження gдостаточно виміряти тільки дві величини: Відстань (rc1 + rc2) між опорними ребрами призм і період коливань маятника в положенііrc1 і в «перевернутому» положенііrc2. такому, чтоrc1

rc2. При цьому періоди коливань повинні збігатися.

Завдання 1. Підбір расстоянійrc1 іrc2. при яких

.

Рухливі вантажі зміцнюють на стрижні в несиметричних положеннях (рис.2): один вантаж - у кінця стрижня, інший - поблизу його центру.

Наближено визначають положення центра мас з маятника. Одна з призм зміцнюється справа на найбільшому, можливій відстані rc1 від центру мас (поблизу кінця стрижня). Друга - по іншу сторону від центру мас, поблизу точки С. В цьому положенні визначається час

25 малих коливань маятника (кут відхилення не більше 4-5 0).

Потім, не змінюючи положення вантажів (маятник перевертають), визначають час

25 малих коливань. Якщо виявилося, щобільш ніж на 0,2 с, то другу призму пересувають далі від центру мас і знову вимірюютьі. Слід врахувати, що при зміні положення призм змінюється какt (rc1) так ІТ (rc2). Тому потрібно регулярно перевертати маятник до тих пір поки. При такій різницііперіодизбігаються з точністю до 10 -2 -10 -3 с. Установка готова до проведення роботи.

Завдання 2. Визначення прискорення вільного падіння.

Визначте час 50 коливань (тричі) t (rc1) і t (rc2). Заповніть таблицю.

Виміряйте відстань (rc1 + rc2).

Обчисліть прискорення вільного падіння за формулою (9).

Запишіть похибки вимірювань приладів (секундоміра і лінійки).

Розрахуйте відносну похибку методом диференціювання і визначте довірчий інтервал

. Запишіть остаточний результат.

Завдання 3. Визначення положення центра інерції маятника.

Маятник: довжина стержня 1,25м, массаmст = 0,260 кг; маса призм дорівнює 0,22 кг і 0,175 кг; маси сочевиць 0,930 кг і 1,44 кг.

За цими даними і відстаням всіх вантажів від одного з кінців стрижня (виміряйте) визначте теоретичне значення центру мас. Порівняйте його зі значенням положення центру мас, знайденим експериментально на маятнику, з яким проводився розрахунок g.

Дайте визначення фізичних величин: момент сили, момент інерції, момент імпульсу тел щодо осі; їх напрямок?

Сформулюйте рівняння моментів.

Виведіть формулу періоду коливання фізичного маятника.

Яку величину називають наведеної довжиною фізичного маятника?

Який маятник називається оборотним? Його гідність при визначенні g?

Виведіть формулу для визначення gметодом оборотного маятника.

Чи можна визначити g, використовуючи теорему Штейнера і знаючи момент інерції

дисків (сочевиці). Чому?

Як визначається абсолютна похибка періоду коливань.

Яка з величин в лабораторній роботі визначається з меншою точністю: Т або (rc1 + rc2)?

Чи є сенс для збільшення точності визначення gдобіваться повного збігу періодів? Чому?

Доведіть. Що при періоди коливань можна вважати рівними з точністю до 10 -3 с?

Залежать періоди коливань фізичного, оборотного маятників від їх маси?

Отримайте формулу для визначення

при непрямих вимірах.

Як визначити центр інерції маятника експериментально і теоретично по відомим параметрам маятника?

Сивухин А.В. «Загальною курс фізики» т.1. Механіка. М. 1976р. стр. 166-170, 172-173, 209-213.

Архангельський М.М. «Курс фізики». Механіка. М. 1975р. стр. 297, 301-305, 315-316, 327-328.

Александров Н.В. Яшкін А.Я. «Курс загальної фізики». Механіка. М. 1978р. стр. 335-336.

Савельєв І.В. «Курс фізики» т.1. Механіка. Молекулярна фізика. М. 1989р. стр. 101-107.

Гершензон Е.М. Малов М.М. «Курс загальної фізики». Механіка. М. 1979р. стр. 85-89.

Перевагою методу оборотного маятника для визначення прискорення вільного падіння є те, що I0 іrc не входять до розрахункову формулу дляg. Перейдемо до обговорення цього методу.

Згідно з теоремою Гюйгенса-Штейнера, момент інерції маятника щодо осі хитань O

де Ic - момент інерції маятника щодо осі, паралельної осі хитань і проходить через центр мас С маятника, rc - відстань між осями О і С.

Поставляючи (2) в (1), отримуємо

Обговоримо якісно характер залежності періоду коливань від відстані rc до осі хитань. При дуже малихrc. момент сили тяжіння

M = -mgrc sin

, прагне повернути маятник в положення рівноваги, стає дуже малим і період коливань різко зростає. У межі rc0 момент сили тяжіння дорівнює нулю і коливання взагалі неможливі: маятник знаходиться в положенні рівноваги. Це узгоджується з формулою (3): пріrc0 період

У зворотному межі дуже великих rc можна пренебречьIс в порівнянні СMR

і розглядати фізичний маятник як математичний з довжиною подвесаl = rc. У цьому випадку період коливань

.

П

ріrcперіод Т також необмежено зростає. При возрастанііrc період Т спочатку убуває до деякого мінімального значення Тm = Tmin. а потім знову зростає. Якісно вид залежності Т (rc) зображений на рис.1.

Значенням rc = 0 відповідає центр мас маятника. Якщо підвішувати маятник по іншу сторону від центру мас, то, як видно з формули (3), залежність Т (rc) буде точно такий же. Тому графік Т (rc) має дві симетричні гілки, що відповідають положенню точки підвісу маятника зліва чи справа від його центру мас.

З графіка видно, що кожну сторону від центру мас маятника є по два положення опорних призм, при яких періоди коливань маятника збігаються.