Заперечення висловлень і висказивательной форм

Про висловлювання виду і_ кажуть, що вони рівносильні, і пишуть <=> .

Аналогічно можна довести, що має місце еквівалентність <=> .

Ці равносильности звуться законів де Моргана.

З них випливає наступне правило побудови заперечення кон'юнкції і диз'юнкції: щоб побудувати заперечення кон'юнкції (диз'юнкції), досить замінити запереченнями складові її висловлювання, а союз «і» ( «або») замінити союзом «або» ( «і»).

Завдання 1. Побудувати заперечення висловлювання «число 28 ділиться на 9 або на 6».

Рішення (два способи).

1) Поставимо перед даним виступом слова «невірно, що». Отримаємо висловлювання «невірно, що число 28 ділиться на 9 або на 6», яке є запереченням вихідного.

2) Скористаємося законом де Моргана: замінимо висловлювання «число 28 ділиться на 9» і «число 28 ділиться на 6» їх запереченнями, а союз «або» поміняємо на союз «і». Отримаємо висловлювання «число 28 не ділиться на 9 і не ділиться на 6», яке також є запереченням вихідного.

Отже, ми з'ясували, як будувати заперечення кон'юнкції і диз'юнкції висловлювань. А як бути з висловлюваннями, які містять квантори? Чи достатньо для заперечення таких пропозицій поставити перед присудком частку «не»? Наприклад, чи буде запереченням висловлювання «всякий прямокутний трикутник є рівнобедреним» пропозицію «про всяк прямокутний трикутник не є рівнобедреним»? Бачимо, що не буде, так як обидва висловлювання помилкові. Таким чином, будувати заперечення висловлювань з кванторами за допомогою частки «не» перед присудком не можна.

Залишається інший шлях - перед усім пропозицією ставимо слова «невірно, що». Тоді запереченням висловлювання «всякий прямокутний трикутник є рівнобедреним» буде пропозиція «невірно, що всякий прямокутний трикутник є рівнобедреним», але ця пропозиція має таке ж значення, що і пропозиція «деякі прямокутні трикутники не є рівнобокими».

Запереченням висловлювання «деякі прямокутні трикутники є рівнобокими» є вислів «невірно, що деякі прямокутні трикутники є рівнобокими», яке має таке ж значення, що і пропозиція «все прямокутні трикутники не є рівнобокими».

Взагалі якщо дано пропозицію (x) A (x), то його запереченням будуть пропозиції і (х). мають один і той же сенс (і одне і те ж значення істинності).

Якщо дано пропозицію (х) А (х), то його запереченням будуть пропозиції і (х). також мають один і той же сенс (і одне і те ж значення істинності). Отримуємо дві равносильности:

З них випливає правило: для того, щоб побудувати заперечення висловлювання, що починається з квантора спільності (існування), досить замінити його квантором існування (спільності) і побудувати заперечення пропозиції, що стоїть після квантора.

Завдання 2. Побудувати заперечення висловлювання «деякі однозначні числа діляться на 10».

Рішення. Зробити це можна двома способами.

1) Поставимо перед висловлюванням слова «невірно, що». Отримаємо висловлювання «невірно, що деякі однозначні числа діляться на 10», яке є запереченням даного

2) Замінимо квантор існування (він виражений словом «деякі») на квантор спільності «все» і побудуємо заперечення пропозиції, що стоїть після слова «деякі», поставивши частку «не» перед присудком. Отримаємо висловлювання «всі однозначні числа не діляться на 10».

Останнє, про що піде мова, - це заперечення висказивательной форм

Нехай на множині X задана висказивательной форма А (х). Її заперечення позначимо (читають: «Не А (х)» або «невірно, що А (х)»). Пропозиція буде звертатися в істинне висловлення лише при тих значеннях х з множини X, при яких А (х) - помилково. Таким чином, Т # 256; = Т / А,

де Т # 256; - безліч істинності пропозиції. а Т / А - доповнення безлічі ТА до безлічі X.

Доказ цього рівності ми опускаємо.

Нехай, наприклад, на безлічі натуральних чисел задана висказивательной форма А (х) - «число х кратно 5». Тоді її запереченням буде пропозиція «число х не кратне 5» (або «невірно, що число х кратно 5»), справжнє при всіх значеннях х, які не кратні 5.