Закон Максвелла про розподіл молекул за швидкостями

§4 Закон Максвелла про розподіл за швидкостями і енергій

Закон розподілу молекул ідеального газу за швидкостями, теоретично отриманий Максвеллом в 1860 р визначає, яке число dN молекул однорідного (p = const) одноатомного ідеального газу із загального числа N його молекул в одиниці об'єму має при даній температурі Т швидкості, укладені в інтервалі від v до v + dv.

Для виведення функції розподілу молекул за швидкостями f (v) дорівнює відношенню числа молекул dN. швидкості яких лежать в інтервалі v ÷ v + dv до загальної кількості молекул N і величині інтервалу dv

Максвелл використовував дві пропозиції:

а) всі напрямки в просторі рівноправні і тому будь-який напрямок руху частинки, тобто будь-який напрямок швидкості однаково ймовірно. Це властивість іноді називають властивістю изотропности функції розподілу.

б) рух за трьома взаємно перпендикулярних осях незалежні тобто х-компоненти швидкості не залежить від того яке значення її компонент або. І тоді висновок f (v) робиться спочатку для однієї компоненти. а потім узагальнюється на всі координати швидкості.

Вважається також, що газ складається з дуже великого числа N тотожних молекул знаходяться в стані хаотичного теплового руху при однаковій температурі. Силові поля на газ не діють.

Функції f (v) визначає відносне число молекул dN (v) / N швидкості яких лежать в інтервалі від v до v + dv (наприклад: газ має N = 10 6 молекул, при цьому dN = 100

молекул мають швидкості від v = 100 до v + dv = 101 м / с (dv = 1 м) тоді.

Використовуючи методи теорії ймовірностей, Максвелл знайшов функцію f (v) - закон розподілу молекул ідеального газу за швидкостями:

f (v) залежить від роду газу (від маси молекули) і від параметра стану (від температури Т)

f (v) залежить від ставлення кінетичної енергії молекули, що відповідає даній швидкості до величини kT характеризує середню теплову енергію молекул газу.

При малих v і функція f (v) змінюється практично по параболі. П ри зростанні v множник зменшується швидше, ніж зростає множник. тобто є max функції f (v). Швидкість, при якій функція розподілу молекул ідеального газу за швидкостями максимальна, називається найбільш вірогідною швидкістю знайдемо з умови

. отже, з ростом температури найбільш ймовірна швидкість зростає, але площа S. обмежена кривою функції розподілу залишається незмінною, так як з умови нормування (тому що ймовірність достовірної події дорівнює 1), тому при підвищенні температури крива розподілу f (v) буде розтягуватися і знижуватися .

У статистичній фізиці середнє значення будь-якої величини визначається як інтеграл від 0 до нескінченності твори величини на щільність ймовірності цієї величини (статистичний вага)

Тоді середня арифметична швидкість молекул

і інтегруючи по частинах отримали

Швидкості, що характеризують стан газу

§5 Експериментальна перевірка закону розподілу Максвелла - досвід Штерна

Уздовж осі внутрішнього циліндра з метою натягнута платинова дріт, покрита шаром срібла, яка нагрівається струмом. При нагріванні срібло випаровується, атоми срібла вилітають через щілину і потрапляють на внутрішню поверхню другого циліндра. Якщо обидва циліндра нерухомі, то всі атоми незалежно від їх швидкості потрапляють в один і той же місце В. При обертанні циліндрів з кутовий швидкістю ω атома срібла потраплять в точки В ', B' 'і так далі. За величиною ω, віддалі. і зміщення х = ВВ 'можна обчислити швидкість атомів, які потрапили в точку В'.

Зображення щілини виходить розмитим. Досліджуючи товщину обложеного шару, можна оцінити розподіл молекул за швидкостями, яке відповідає максвелловскую розподілу.

§6 Барометрична формула

Дотепер розглядалося поведінку ідеального газу, який не піддається впливу зовнішніх силових полів. З досвіду добре відомо, що при дії зовнішніх сил рівномірне поширення частинок в просторі може порушитися. Так під дією сили тяжіння молекули прагнуть опуститися на дно посудини. Інтенсивне теплове рух перешкоджає осадженню, і молекули поширюються так, що їх концентрація поступово зменшується в міру збільшення висоти.

Виведемо закон зміни тиску з висотою припускаючи, що поле тяжіння однорідно, температура постійна і маса всіх молекул однакова. Якщо атмосферний тиск на висоті h одно p. то на висоті h + dh воно дорівнює p + dp (при dh> 0, dp <0, так как p уменьшается с увеличением h ).

Різниця тиску на висотах h і h + dh ми можемо визначити як вага молекул повітря укладеного в обсязі з площею підстави рівного 1 і висотою dh.

щільність на висоті h. і так як. то = const.

З рівняння Менделєєва-Клапейрона.

Пропотенціруем даний вираз (

Барометрична формула, показує, як змінюється тиск з висотою

.

n концентрація молекул на висоті h,

n 0 концентрація молекул на висоті h = 0.

потенційна енергія молекул в полі тяжіння

розподіл Больцмана в зовнішньому потенційному полі. З нього випливає, що при T = const щільність газу більше там, де менше потенційна енергія молекул.

§7 Дослідне визначення постійної Авогадро

Ж. Перрен (французький вчений) в 1909 р досліджував поведінку броунівських часток в емульсії гуммигута (сік дерев) з розмірами оглядалися за допомогою мікроскопа, який мав глибину поля - 1 мкм. Переміщаючи мікроскоп в вертикальному напрямку можна було дослідити розподіл броунівських часток по висоті.

Застосувавши до них розподіл Больцмана можна записати

n = - де m-маса частинки

m - маса витісненої рідини:

Якщо n 1 і n 2 концентрація частинок на рівнях h 1 і h 2. а k = R / NA. то

Значення добре узгоджується з довідковим значенням, що підтверджує больцманівського розподіл часток