Властивості спектральної щільності

Спектральна щільність - це комплексно-значна функція частоти, одночасно несе інформацію, як про амплітуду, так і про фазу елементарних синусоїд.

Властивості спектральної щільності в теоремах:

Якщо є деяка сукупність сигналів причому, ..., то зважена сума сигналів перетвориться по Фур'є наступним чином: .Тут - довільні числові коефіцієнти.

II. Теорема про зрушення.

Припустимо, що для сигналу відомо відповідність. Розглянемо такий же сигнал, але виникає на секунд пізніше. Беручи точку за новий початок відліку часу, позначимо цей зміщений сигнал як. Введемо заміну змінної:. Тоді.

Модуль комплексного числа при будь-яких дорівнює 1, тому амплітуди елементарних гармонійних складових, з яких складається сигнал, що не залежать від його положення на осі часу. Інформація про цю характеристиці сигналу укладена в частотою залежно аргументу від його спектральної щільності (фазовому спектрі).

Припустимо, що вихідний сигнал підданий зміни масштабу часу. Це означає, що роль часу грає нова незалежна змінна (- деякий дійсне число.) Якщо> 1, то відбувається "стиснення" вихідного сигналу; якщо ж 0<<1, то сигнал “растягивается” во времени. Если . то :

Зробимо заміну змінної. тоді. звідки слід:

При стисненні сигналу в раз на тимчасової осі в стільки ж разів розширюється його спектр на осі частот. Модуль спектральної щільності при цьому зменшується в раз.

Очевидно, що при розтягуванні сигналу в часі (тобто при <1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

IV. Теорема про спектр похідною і невизначеного інтеграла.

Нехай сигнал і його спектральна площину задані. Будемо вивчати новий сигнал і поставимо мету знайти його спектральну щільність.

Перетворення Фур'є - лінійна операція, значить, рівність (2.14) справедливо і по відношенню до спектральних плотностям. Отримуємо по теоремі про зрушення:

Представляючи експонентну функцію поруч Тейлора: підставляючи цей ряд в (2.15) і обмежуючись першими двома числами, знаходимо

Отже, диференціювання сигналу за часом еквівалентно простий алгебраїчної операції множення спектральної щільності на множник. Тому кажуть, що уявне число є оператором диференціювання, чинним в частотної області.

Друга частина теореми. Розглянута функція є невизначеним інтегралом по відношенню до функції. Інтеграл це є. значить - його спектральна щільність, а з формули (2.16) дорівнює: (2.17)

Таким чином, множник служить оператором інтегрування в частотній області.

V.Теорема про згортку.

Як відомо, при підсумовуванні сигналів їх спектри складаються. Однак спектр твори сигналів не дорівнює добутку спектрів, а виражається деяким спеціальним інтегральним співвідношенням між спектрами сомножителей.

Нехай і - два сигнали, для яких відомі відповідності. .Образуем твір цих сигналів: і обчислимо його спектральну щільність. За загальним правилом: (2.18)

Застосувавши зворотне перетворення Фур'є, висловимо сигнал через його спектральну щільність і підставимо результат в (2.18):

Змінивши порядок інтегрування, будемо мати:

Інтеграл, що стоїть в правій частині називають сверткой функцій V і U. Символічно операція згортки позначається як *:

Таким чином, спектральна щільність твори двох сигналів з точністю до постійного числового множника дорівнює згортку спектральних густин сомножителей: (2.20)

Операція згортки коммутативна, тобто допускає зміни порядку проходження перетворюються функцій:

Теорема про згортку може бути звернена: якщо спектральна щільність деякого сигналу представляється у вигляді добутку. причому і. то сигнал є сверткой сигналів і. але вже не в приватній. а в тимчасовій області: (2.21)

VI. теорема Планшереля

Нехай два сигнали і. в загальному випадку комплексні. визначені своїми зворотними перетвореннями Фур'є:

Знайдемо скалярний добуток цих сигналів, висловивши один з них, наприклад. через його спектральну щільність:

Тут внутрішній інтеграл являє собою спектральну щільність сигналу тому: (2.22)

Скалярний добуток двох сигналів з точністю до коефіцієнта пропорційно скалярному добутку їх спектральних густин.