Визначення числового ряду і його збіжності
Нехай задана нескінченна послідовність чисел Нескінченна сума чисел виду - називається числовим рядом, а числа-членами ряду.
Ряд позначають так:
Вираз для - го члена ряду при довільному натуральному> 0. називається загальним членом ряду і позначається.
Загальний член ряду можна задати формулою, допомогою якої записується довільний член ряду.
Суму перших його членів позначають через:
і прийнято називати дружиною часткової сумою ряду.
Часткові суми ряду утворюють деяку числову послідовність його часткових сум. Ряд називається збігається, якщо збігається послідовність його часткових сум, тобто якщо існує збежная межа
Число при цьому називають сумою ряду і записують
При цьому вважають також що ряд стремітса до числа.
Якщо послідовність часткових сум ряду розбігається то ряд називається розбіжність. У цьому випадку ряд не має суми.
Ряд складений з елементів геометричної прогресії називається геометричним рядом:
Число - знаменник геометричній прогресії.
Позначимо через суму перших членів прогресії і знайдемо її значення:
геометричний ряд збегается.
таким чином, послідовність - розбіжність.
називається гармонійним рядом і являється розбіжність.
Числовий ряд виду
називається узагальненим гармонічним рядом. Доведено, що при узагальнений гармонічний ряд розбігається, а при -ряд сходиться.
Якщо ряд збігається, то різниця між сумою і часткової його сумою
називається -м залишком ряду.
Залишок ряду являє собою ту похибку яка вийде, якщо замість наближеного значення суми ряду взяти суму перших членів цього ряду. Але оскільки ето межа суми, то для збігається ряду виконується
Таким чином взявши досить велике число членів збігається ряду можна суму цього ряду обчислити з великою точністю. Звідси випливає що основним завданням теорії рядів є дослідження збіжності ряду.