Витяг кореня з комплексного числа

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Коренем n-го ступеня. n Î N. n ³ 2, з числа z називається будь-яке комплексне число u. для якого n -а ступінь дорівнює z:

В поле комплексних чисел справедлива наступна теорема.

Для будь-якого z ≠ 0 добування кореня n-го ступеня, n ³ 2, з числа z завжди можливо і має рівно n різних значень.

Нехай z = r (cosj + i sinj). Шуканий корінь n-го ступеня позначимо

За визначенням кореня маємо u n = z. Звідки випливає, що

З рівності комплексних чисел одержуємо:

Таким чином, модуль комплексного числа u визначається як арифметичний корінь з дійсного позитивного числа r. а аргумент знаходять за формулою

Загальна формула Муавра

Уявімо число z = в тригонометричної формі:

Тому відповідно до загальної формулою Муавра

Формула Ейлера. Показова форма комплексного числа

Крім алгебраїчної і тригонометричної є ще показова форма запису комплексного числа, яка широко використовується в різних додатках, зокрема в електротехніці.

Нехай. залежить від дійсної змінної # 966; .

Порівняємо взаємно однозначним чином кожному комплексному числу комплексно показове вираження. За допомогою операцій диференціювання можна показати, що ці вирази мають одну і ту ж логічну сутність, в зв'язку з цим вважають за визначенням

Ця формула називається формулою Ейлера і являє собою визначення комплексної показовою функції, де # 966; - будь-яке дійсне число.

Нехай дано комплексне число z = r (cos # 966; + i sin # 966;). Зіставляючи це з попередньої формулою, отримуємо

Така форма запису комплексного числа називається показовою формою комплексного числа.

У цій формі записи зручно здійснювати операції множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня. Відповідні формули записуються наступним чином.

1. Знайти показову форму чисел:

2. Знайти алгебраїчну форму чисел: