Вища математика - online документація

Дивергенцией або расходимостью векторного поля називається скалярна функція, яка визначається рівністю:

На цей раз векторне поле породжує скалярний поле div.

З урахуванням понять дивергенції і потоку векторного поля формулу Остроградського можна представити у формі:

т. е. потік векторного поля через замкнуту поверхню S в напрямку зовнішньої нормалі дорівнює потрійному інтегралу від дивергенції векторного поля по області, що обмежена цією поверхнею.

Тобто div є межа відносини потоку поля через нескінченно малу замкнуту поверхню, навколишню точку М. до величини об'єму, обмеженого цією поверхнею. З цього випливає, що дивергенція не залежить від вибору системи координат.

Якщо потік, то в область V втікає більшу кількість рідини (якщо слідувати раніше розглянутого прикладу про перебіг нестисливої ​​рідини), ніж випливає з неї, тобто всередині області V є джерела рідини.

якщо П <0 . то внутри области V есть стоки.
Але потік векторного поля характеризує інтенсивність джерел і стоків лише сумарно, тобто при П ≥ 0 всередині області V можуть бути як джерела, так і стоки.

Для характеристики точки можна використовувати div.

Зауважимо, що div можна записати за допомогою символічного вектора Гамільтона
в наступному вигляді:

Відзначимо властивості дивергенції (справедливість яких рекомендується показати самостійно):

де U - скалярна функція.

Знайти div, а також визначити за формулою Остроградського потік векторного поля
= (X, y, z) через замкнуту поверхню S. Привести окремі випадки.