Вирішуємо типову задачу по аналітичної геометрії

Розглянемо принцип вирішення завдань по темі. "Пряма лінія на площині, знаходження рівняння прямої, що проходить через задану точку, знаходження точок перетину, кутів биссектрис і т.д.".

Як приклад розглянемо наступну задачу

Приклад: Дано координати вершин трикутника \ (ABC \) \ (A (3; -3); B (-1; -6); C (-6; 0) \)

1. Складіть рівняння сторін трикутника.
   
2. Знайдіть рівняння
   
   
   
   1. висоти \ (AD \),
      
   2. медіани \ (BM \),
      
   3. бісектриси \ (CF \).
      
   
   
3. Складіть систему нерівностей, областю рішення якої є безліч всіх точок трикутника \ (ABC \).
   
4. Знайдіть кут \ (B \) в радіанах з точністю до двох знаків.
   
5. Зробіть креслення.
   

1. Складіть рівняння сторін трикутника. Для складання рівняння сторін трикутника звернемося до умові завдання. В умови дані координати трьох вершин трикутника, тобто для складання рівняння прямих \ (AB, BC, CD \) дані по 2 точки, через які ці прямі проходять. Для вирішення скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки $$ \ frac = \ frac $$ де \ ((x_1; y_1) \) - координати першої відомої точки, \ ((x_2; y_2) \) - координати другої відомої точки . Підставами координати і отримаємо рівняння прямих
   пряма \ (AB \). проходить через точки \ (A (3; -3); B (-1; -6) \), складемо рівняння $$ \ frac = \ frac => \ frac = \ frac => y = \ fracx- \ frac $ $ отримали рівняння прямої \ (AB \). У рівнянні прямої відзначимо кутовий коефіцієнт \ (k_ = \ frac \), який знадобиться в наступних завданнях.
   пряма \ (BC \). проходить через точки \ (B (-1; -6); C (-6; 0) \), складемо рівняння $$ \ frac = \ frac => \ frac = \ frac => y = - \ fracx- \ frac $$ отримали рівняння прямої \ (BC \). У рівнянні прямої відзначимо кутовий коефіцієнт \ (k_ = - \ frac \), який знадобиться в наступних завданнях.
   пряма \ (AC \). проходить через точки \ (A (3; -3); C (-6; 0) \), складемо рівняння $$ \ frac = \ frac => \ frac = \ frac => y = - \ fracx-2 $$ отримали рівняння прямої \ (AC \). У рівнянні прямої відзначимо кутовий коефіцієнт \ (k_ = - \ frac \), який знадобиться в наступних завданнях.
   
2. Знайдіть рівняння
   
   
   
   1. висоти \ (AD \). в рівнянні висоти у нас відома координата тільки однієї точки - \ (A (3; -3) \), тому скористаємося рівнянням прямої, що проходить через задану точку в даному напрямку. $$ y-y_0 = k_ (x-x_0) $$. де \ ((x_0; y_0) \) - координати відомої точки, а \ (k_ \) - кутовий коефіцієнт. В даному рівнянні нам невідомий тільки кутовий коефіцієнт. Знайдемо його, для цього скористаємося властивість перпендикулярних прямих. Пряма \ (AD \ bot BC \). Запишемо властивість \ (k_ * k_ = -1 => k _ * (- \ frac) = -1 => k _ = \ frac \). Складемо рівняння прямої \ (AD \) $$ y - (- 3) = \ frac (x-3) => y = \ fracx- \ frac $$
      
   2. медіани \ (BM \), для знаходження рівняння медіани в завданню дано координати однієї точки \ (B (-1; -6) \), а також відомо, що медіана ділить протилежну сторону навпіл. Знайдемо координати точки \ (M \). Для цього скористаємося формулою координати точки, яка ділить відрізок \ (AC \) в заданому відношенні \ (\ lambda \), де \ (\ lambda = \ frac = \ frac = 1 \), а координати \ ((x_1; y_1) , (x_2; y_2) \) - координати кінців відрізка, який ділить точка \ (M \) т.е.точек \ (A (3; -3); C (-6; 0) \), підставимо і отримаємо $ $ x = \ frac = \ frac = - \ frac $$$$ y = \ frac = \ frac = - \ frac $$ отримали координати точки \ (M (- \ frac; - \ frac) \). Отримали дві точки, через які проходить пряма, для отримання рівняння прямої скористаємося рівнянням прямої, що проходить через задані дві точки \ (\ frac = \ frac \), підставимо координати точок \ (B (-1; -6), M (- \ frac; - \ frac) \) і отримаємо $$ \ frac + 6> = \ frac + 1> => y = -9x-15 $$
      
   3. бісектриси \ (CF \), для знаходження рівняння бісектриси скористаємося властивістю бісектриси кута трикутника: бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну кутку сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам \ (\ frac = \ frac \), тобто таким чином ми знайдемо коефіцієнт \ (\ lambda \), потім скористаємося формулою координати точки, яка ділить відрізок \ (AB \) в заданому відношенні \ (\ lambda \) і знайдемо координати точки \ (F \) і останнє, підставимо отримані координати в рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
   Приступимо: знайдемо довжини відрізків \ (AC \), \ (BC \). $$ AC = \ sqrt = \ sqrt = \ sqrt = \ sqrt $$$$ BC = \ sqrt = \ sqrt = \ sqrt = \ sqrt $$ тепер знайдемо коефіцієнт \ (\ lambda = \ frac = \ frac = \ sqrt > \). Знайдемо координати точки \ (F \) при відомих координатах кінців відрізка \ (AB \) \ (A (3; -3); B (-1; -6) \) $$ x = \ frac = \ frac >>> > $$$$ y = \ frac = \ frac >>>> $$ Отримали дві точки, через які проходить пряма \ (CF \), для отримання рівняння прямої \ (CF \) скористаємося рівнянням прямої, що проходить через задані дві точки \ (\ frac = \ frac \), підставимо координати точок \ (C (-6; 0); F (\ frac >>>>; \ frac >>>>) \) і отримаємо $$ \ frac >>> > -0> = \ frac >>>> + 6> => \ frac >>>>> = \ frac> + 6 + 6 * \ sqrt >>>>> => $$$$ \ frac >> = \ frac >> => $$$$ y = \ frac >> * (- 3-6 * \ sqrt>) => $$$$ y = - \ frac >>>> * x-18 \ frac >> >> $$
   

Складіть систему нерівностей, областю рішення якої є безліч всіх точок трикутника \ (ABC \). Це безліч точок, які лежать нижче прямої \ (AC \), тобто \ (Y \ leq - \ fracx-2 \), вище прямих \ (BC \) \ (y \ geq - \ fracx- \ frac \) і \ (AB \) \ (y \ geq \ fracx- \ frac \ ), запишемо це $$ \ beginy \ leq - \ fracx-2 \\ y \ geq - \ fracx- \ frac \\ y \ geq \ fracx- \ frac \ end $$

Знайдіть кут \ (B \) в радіанах з точністю до двох знаків. Кут між прямими розраховується за формулою $$ \ mboxa = | \ frac | $$ де \ (k_1 = k _ = - \ frac \), \ (k_2 = k _ = \ frac \) підставимо в формулу $$ \ mboxa = | \ frac + \ frac> * \ frac> | = 19 \ frac => a = 87.06 ^ 0 $$ Дана формула дозволяє обчислити гострий кут між прямими. З малюнка видно, що шуканий кут \ (B \) трикутника - тупий кут \ (ΔADB \) - прямокутний, кут \ (D = 90 \), інші два кути в сумі менше \ (90 ^ 0 \), тобто . \ (B = 180 ^ 0-a = 180 ^ 0-87.06 ^ 0 = 92,94 ^ 0 \). У задачі необхідно у відповіді вказати кут в радіанах \ (B = 92,94 ^ 0 * \ frac = 1,62 \)

Зробіть креслення.