Вирішуємо рівняння з ДПА

У шкільний курс математики входять теми, пов'язані з рішенням лінійних, квадратних і дрібно-раціональних рівнянь. Входять вони, відповідно, і в програму іспиту у формі ДПА. У першій частині завдань дев'ятикласникам пропонується вирішити математичне рівняння без будь-яких додаткових умов. При вирішенні рівнянь з другої частини потрібно виконати алгебраїчні перетворення виразів, що спрощують рішення рівняння, вирішити рівняння з додатковими умовами або з використанням спеціальних прийомів, таких як розкладання на множники або введення нової змінної.

Якщо із завданнями з першої частини під силу впоратися здебільшого учнів, то завдання з другої виконують далеко не всі. У той же час уміння вирішувати елементарні рівняння надзвичайно важливо не тільки для подальшого освоєння математики та супутніх дисциплін в старших класах, але і просто тому що воно є невід'ємною складовою базової культури особистості будь-якого сучасної людини. На своїх заняттях я приділяю особливу уваги формуванню цього вміння.

Пропоную вам спробувати свої сили у вирішенні завдань, які були в варіантах ДПА з математики в різні роки проведення цього іспиту. Завдання тут представлені разом з докладним розбором. Однак, в освітніх цілях я б рекомендував вам вирішити їх спочатку самостійно, а потім порівняти своє рішення з наведеними в статті.

Приклад 1. Не вирішуючи рівняння 2x 2 + 2x - 3 = 0, знайдіть значення. де x1. x2 - корені рівняння.

Рішення: розділимо обидві частини рівняння на 2, рівняння набуде вигляду: x 2 + x - 1,5 = 0. Це наведене рівняння, тому для нього можна застосувати теорему Вієта:

Тут x1. x2 - корені рівняння. Далі помічаємо, що:

Приклад 2. Знайдіть найменший корінь рівняння:
(X + 3) 4 + 3x 2 + 18x - 1 = 0.

Рішення: додамо до рівняння і віднімемо з нього 27. На коріння рівняння це, звичайно, ніяк не вплине. отримуємо:
(X + 3) 4 + 3x 2 + 18x + 27 - 27 - 1 = 0.
Винесемо за дужки 3 у другому, третьому і четвертому слагаемом:
(X + 3) 4 + 3 (x 2 + 2x + 9) - 28 = 0.
Вираз в дужках представляє з себе розгорнутий квадрат суми, звернемо його:
(X + 3) 4 + 3 (x + 3) 2 - 28 = 0.
Введемо нову змінну (x + 3) 2 = t. Тоді рівняння набуває вигляду:
t 2 + 3t - 28 = 0, корінням якого є числа: -7 і 4. Перше число не підходить, оскільки квадрат дійсного числа негативним бути не може.
Значить (x + 3) 2 = 4, а тому x + 3 = 2 або x + 3 = -2, тобто
x = -1 або x = -5. Найменшим з цих чисел є -5.

Приклад 3. Вкажіть всі значення a, при яких рівняння:
x 3 - 2ax 2 - (2a - 3) x = 0 має три різних корені.

Рішення: по-перше, це рівняння точно має одне рішення x = 0 незалежно від того, яким буде a. Щоб це стало очевидно, винесемо x в рівнянні за дужку:
x (x 2 - 2ax - (2a - 3)) = 0.
Твір, як відомо, дорівнює нулю в тому випадку, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю, а значить або x = 0, або вираз в дужках дорівнює нулю. Необхідно, щоб рівняння:
x 2 - 2ax - (2a - 3) = 0
мало два рішення (тоді загальна кількість рішень буде дорівнювати трьом). Це можливо в тому випадку, коли його дискримінант суворо більше нуля. Звідси отримуємо нерівність:
4a 2 + 8a - 12> 0 або a 2 + 2a - 3> 0, яке виконується для:

Важливо також перевірити, що серед коренів даного тричлена не виявилося нуля, інакше два кореня рівняння співпадуть. Прямою підстановкою визначаємо, що x = 0 є коренем трехчлена в тому випадку, якщо a = 1,5. Виключаємо це значення від відповіді. остаточно:

Отже, формально, для виконання цього завдання необхідно знати і розуміти алгоритм вирішення найпростіших квадратичних рівнянь і нерівностей, а також вміти проводити елементарні перетворення буквених виразів. Однак, ця умова є, зрозуміло, лише необхідним, але не достатньою. У тому випадку, якщо ви маєте уявлення про математичні факти, перерахованих вище, але не змогли вирішити це завдання самостійно, постарайтеся проаналізувати, з чим це може бути пов'язано, і врахуйте це в подальшому.

Представлені тут завдання дозволяють оцінити складність запропонованих завдань на ДПА з математики. Якщо ви змогли вирішити їх самостійно, у вас є всі шанси виконати завдання по темі «Рівняння» на майбутній екзамен. Як би там не було, підготовка до ДПА - складний і тривалий процес, необхідно поставитися до нього з усією серйозністю і відповідальністю. Успіх у цій справі залежить як від старань учня, так і від майстерності його вчителя.