Варіація функції, математика, fandom powered by wikia
Формальне визначення Правити
Нехай. Тоді варіацією (також повної варіацією або повною зміною) функції на відрізку називається наступна величина:
,
тобто точна верхня грань по всьому розбиття відрізка довжин ламаних в, кінці яких відповідають значенням в точках розбиття.
Функції, варіація яких обмежена на відрізку, називаються функціями обмеженої варіації. а клас таких функцій позначається. В такому випадку визначена функція, що називається функцією повної варіації для.
Пов'язані визначення Правити
Позитивна варіація вещественнозначной функції на відрізку називається наступна величина:
.
Аналогічно визначається негативна варіація функції:
.
Таким чином повна варіація функції може бути представлена у вигляді суми
.
Властивості функцій обмеженої варіації Правити
- Сума і твір функцій обмеженої варіації теж матиме обмежену варіацію.
- Якщо, а, то.
- Якщо функція неперервна в точці справа і належить, то.
- Функція, задана на відрізку, є функцією обмеженої варіації тоді і тільки тоді, коли вона може бути представлена у вигляді суми зростаючій і зменшення функції на функцій (розкладання Жордана).
- Будь-яка функція обмеженої варіації обмежена і може мати не більше ніж рахункове безліч точок розриву. причому всі I роду.
- Функція обмеженою варіації може бути представлена у вигляді суми абсолютно неперервної функції. сингулярной функції і функції стрибків (розкладання Лебега).
Обчислення варіації Правити
Варіація безперервно диференціюється Правити
Якщо функція належить класу, тобто має безперервну похідну першого порядку на відрізку, то - функція обмеженої варіації на цьому відрізку, а варіація обчислюється за формулою:
,