Точність і надійність оцінки
Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Як вже було сказано вище, точкової називають оцінку, яка визначається одним числом. Всі оцінки, розглянуті вище, - точкові. При вибірці малого обсягу точкова оцінка може значно відрізнятися від оцінюваного параметра, т. Е. Призводити до грубих помилок. З цієї причини при невеликому обсязі вибірки слід користуватися інтервальними оцінками. Інтервального називають оцінку, яка визначається двома числами - кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок (сенс цих понять з'ясовується нижче).
Нехай знайдена за даними вибірки статистична характеристика служить оцінкою невідомого параметра. Будемо вважати постійним числом (може бути і випадкової величиною). Ясно, що тим точніше визначає параметр. чим менше абсолютна величина різниці. Іншими словами, якщо і. то чим менше. тим оцінка точніше. Таким чином, позитивне число характеризує точність оцінки.
Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки по називають ймовірність. з якої здійснюється нерівність. Зазвичай надійність оцінки задається наперед, причому в якості беруть число, близьке до одиниці. Найбільш часто задають надійність, рівну 0,95; 0,99 і 0,999.
Нехай ймовірність того, що. дорівнює. .
Замінивши нерівність рівносильним йому подвійним нерівністю
Це співвідношення слід розуміти так: ймовірність того, що інтервал містить в собі (покриває) невідомий параметр. дорівнює. Довірчим називають інтервал. який покриває невідомий параметр із заданою надійністю.
Зауваження. Інтервал має випадкові кінці (їх називають довірчими межами). Дійсно, в різних вибірках виходять різні значення. Отже, від вибірки до вибірки будуть змінюватися і кінці довірчого інтервалу, тобто довірчі кордону самі є випадковими величинами - функціями від.
Так як випадковою величиною є не оцінюваний параметр. а довірчий інтервал, то правильніше говорити не про ймовірність попадання в довірчий інтервал, а про ймовірність того, що довірчий інтервал покриє.
Метод довірчих інтервалів розробив американський статистик Ю. Нейман, виходячи з ідей англійського статистика Р. Фішера.
Довірчі інтервали для оцінки математичного очікування нормального розподілу при відомому.
Нехай кількісний ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально, причому середнє відхилення цього розподілу відомо. Потрібно оцінити невідоме математичне сподівання по вибіркової середньої. Поставимо своїм завданням знайти довірчі інтервали, що покривають параметр з надійністю.
Приймемо без доведення, що якщо випадкова величина Х розподілена нормально, то вибіркова середня. знайдена по незалежним спостереженнями, також розподілена нормально. Параметри розподілу такі:
Взявши до уваги, що за умовою нам задана ймовірність. отримуємо наступну формулу (щоб отримати робочу формулу, вибіркову середню знову позначимо через)
Сенс отриманого співвідношення такий: з надійністю можна стверджувати, що довірчий інтервал покриває невідомий параметр; точність оцінки.
Зазначимо ще, що число t визначається з рівності. або; по таблиці функції Лапласа знаходять аргумент t. якому відповідає значення функції Лапласа, рівне.
Пояснимо сенс, який має задана надійність. Надійність = 0,95 вказує, що якщо вироблено досить велике число вибірок, то 95% з них визначає такі довірчі інтервали, в яких параметр дійсно укладений; лише в 5% випадків він може вийти за межі довірчого інтервалу.
Довірчим можливостям, як це видно з таблиці функції Лапласа, відповідають такі величини нормованих відхилень:
ймовірності 1 = 0,95 відповідає t1 = 1,96;
ймовірності 2 = 0,99 відповідає t2 = 2,58;
ймовірності 3 = 0,999 відповідає t3 = 3,29.
Вибір того чи іншого порога довірчої ймовірності дослідник здійснює виходячи з практичних міркувань тієї відповідальності, з якою робляться висновки про генеральних параметрах.
Довірчі інтервали для оцінки математичного очікування нормального розподілу при невідомому
Нехай кількісний ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально, причому середнє відхилення невідомо. Потрібно оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою довірчих інтервалів. Зрозуміло, неможливо скористатися результатами попереднього параграфа, в якому передбачалося відомим.
Виявляється, що за даними вибірки можна побудувати випадкову величину. яка має розподіл Стьюдента з k = n-1 ступенями свободи; тут - вибіркова середня, S - «виправлене» середнє квадратичне відхилення, n - обсяг вибірки.
Користуючись розподілом Стьюдента, знаходимо:
Значить, довірчий інтервал покриває невідомий параметр c надійністю. За заданим n і в таблицях Стьюдента можна знайти відповідне.
Приклад. Випадкова величина Х - вага піврічного порося в господарстві (тобто в генеральної сукупності) - розподілена нормально. За вибіркою обсягу n = 16 знайдено вибіркова середня = 20,2 кг і «виправлене» середнє квадратичне відхилення S = 0,8 кг. Оцінити невідоме математичне сподівання за допомогою довірчого інтервалу з надійністю 0,95.
Рішення. Знайдемо. Користуючись таблицею, по = 0,95 і n = 16 знаходимо = 2,13.
Знайдемо довірчі кордону:
Отже, з надійністю 0,95 невідомий параметр укладений в довірчому інтервалі 19,774<<20,626 (кг).
Довірчі інтервали для оцінки середнього квадратичного отклоненіянормального розподілу
Нехай кількісний ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. Потрібно оцінити невідоме генеральне середнє відхилення по «виправленому» вибіркового середньому квадратичному відхиленню S.
Довірчий інтервал, що покриває параметр із заданою надійністю знаходять за такою формулою:
Тут параметр q визначають, користуються таблицею додатка 2, а S знаходять за вибіркою.
Приклад. Випадкова величина Х - вага піврічного порося в господарстві - (тобто в генеральної сукупності) розподілений нормально. За вибіркою обсягу n = 25 знайдено «виправлене» середнє квадратичне відхилення S = 0,8 кг. Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральне середнє відхилення з надійністю 0,95.
Рішення. По таблиці додатка 2 за даними = 0,95 і n = 25 знайдемо q = 0,32.
Шуканий довірчий інтервал такий:
0,8 (1 - 0,32)<<0,8 1(1+0,32), или
0,544<<1,056 (кг).
Зауваження. Якщо q> 1, то нерівність набуде вигляду
7. Статистичні гіпотези. Статистичні критерії