Теореми про диференціюються функції

Порівняння цих формул показує, що похідна в цій точці у напрямку вектора має найбільше значення, якщо напрямок вектора збігається з напрямком градієнта. Це найбільше значення похідної одно модулю градієнта в даній точці. Тому вектор градієнт показує напрямок найбільшого зростання функції в даній точці, а його модуль - швидкість найбільшого зростання.

Приклад 16.8. Дана функція. Знайти похідну в точці
М (1, 1, 1) в напрямку вектора і вектора градієнта. Порівняти швидкості зміни функції в цих напрямках.

Рішення. Для того, що б знайти похідну в напрямі вектора, знайдемо спочатку його модуль і напрямні косинуси.

Знайдемо приватні похідні даної функції в точці:

Похідна функції в напрямку вектора:

Складемо вектор градієнт по знайденим приватним похідним в точці М і знайдемо його модуль:

що і слід було очікувати.

Якщо функція є функція двох змінних, то вектор

в точці лежить в площині ХОY і перпендикулярний проекції перетину поверхні площиною, паралельній площині ХОY. (Рис. 16.5).

16.7. висновок

Зробимо перші висновки по цій темі.

1. Закон зміни однієї змінної U в залежності від двох і більше незалежних один від одного змінних х. у і т.д. називається функцією багатьох змінних.

2. Зміни U за різними змінним відрізняються один від одного і характеризуються приватними похідними. Приватні похідні показують швидкість зміни в своєму напрямку.

3. Швидкість зміни в довільному напрямку характеризується похідною за напрямком вектора.

4. Напрямок, в якому швидкість має найбільше значення, задається вектором, що має спеціальну назву градієнт. Його координати дорівнюють значенню приватних похідних в даній точці, а модуль - швидкості зміни.

Лекція 17.

ПРИВАТНІ ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ.
ЕКСТЕМУМ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ

9. Приватні похідні вищих порядків.

10. Екстремуми функції двох змінних.

11. Найбільше і найменше значення функції в замкненій області.

12. Підбір параметрів для емпіричних формул найпростішого виду за методом найменших квадратів

17.1. Вступ

При вивченні функції однієї змінної крім похідною першого порядку, що характеризує швидкість зміни будь-якого процесу, ми ввели поняття другої похідної, яка відповідала за прискорення. У функції двох змінних існує дві приватні похідні, які в загальному випадку також є функціями тих же змінних, і, отже, їх знову можна диференціювати і за х. і по у. Покажемо, як це робиться.

17.2. Приватні похідні вищих порядків

Нехай функція z = f (x, y) неперервна разом зі своїми приватними похідними і в деякій області D площини ХОY.

Визначення 17.1.Частнимі похідними другого порядку (або другими приватними похідними) називаються похідні від похідних і.

Другі приватні похідні позначаються так:

тут функція послідовно диференціюється по х двічі;

тут f диференціюється спочатку по х. а потім результат по у;

тут f диференціюється спочатку по у. а потім результат по х;

тут f диференціюється двічі по у.

Перша і остання похідні називаються іноді чистими. а друга і третя - змішаними похідними другого порядку.

Можна довести (див. Підручник Кремера)), що

за умови безперервності цих похідних в заданих точках, т. е. друга змішана похідна не залежить від порядку диференціювання і тому чотири приватних похідних зводяться до трьох.

Похідні другого порядку можна знову диференціювати як по х. так і по у. Отримаємо похідні третього порядку, дві з яких чисті, а інші шість - змішані:

Тут ми врахували, що

і тому вісім приватних похідних зводяться до чотирьох.

Цей процес можна продовжити і отримати похідні будь-якого порядку, за умови, що всі вони неперервні в заданій точці.

Приклад 17.1. Обчислити похідні другого порядку від функції

Рішення. Знайдемо похідні першого порядку, враховуючи, що приватна похідна по х обчислюється в припущенні, що у - постійна і навпаки:

Знайдемо похідні другого порядку:

Приклад 17.2. Дана функція. Показати що .

Рішення. Знайдемо послідовно значення всіх похідних і перевіримо це рівність.

Підставами знайдені значення у вихідне рівність:

Ми бачимо, що рівність для заданої функції виконується.

Приклад 17.3. Дана функція. Показати що .

- це ліва частина рівності.

Для обчислення правої врахуємо, що вже відомо, і знайдемо

Т.ч. вихідне рівність для заданої функції.

Як видно з наведених прикладів, слід бути уважним і відокремлювати по можливості ті змінні, які в даному випадку грають роль постійної.

17.3. Екстремуми функції двох змінних

Ми досить детально обговорювали екстремуми функції однієї змінної. Перенесемо ці знання на функції двох змінних.

Визначення 17.2. Точка називається точкою максимуму функції, якщо

для всіх точок (х, у), досить близьких до точки і відмінних від неї (рис. 17.1).

Визначення 17.2. Точка називається точкою мінімуму функції, якщо

для всіх точок (х, у), досить близьких до точки і відмінних від неї. (Рис. 17.2).

Точки, в яких приватні похідні дорівнюють нулю або не існують, називаються критичними.

Іноді точку екстремуму і її характер можна визначити з міркувань здорового глузду.

Наприклад, функція має мінімум при і, тобто в точці М (1,2). Дійсно, для будь-яких перший доданок буде рости, і для - теж, тому в точці М (1,2) функція має мінімум, причому (рис. 17.1).

Функція має максимум в точці (0,0), причому (рис. 17.2).