Теорема про зміну кількості руху механічної системи

Кількістю руху механічної системи називається вектор, рівний геометричній сумі (головному вектору) кількостей руху всіх матеріальних точок цієї системи.

Вектор кількості руху механічної системи має модуль, що дорівнює добутку маси системи на швидкість її центру мас і напрямок цієї швидкості.

Проектуємо вектор на осі координат:

Проекція кількості руху механічної системи на кожну координатну вісь, вона дорівнює сумі проекцій кількостей руху всіх точок системи на одну ос. визначається твором маси системи на проекцію швидкості центру мас на цю ж вісь.

Диференціюючи (1) по часу:

Відповідно до рівняння руху центру мас системи,

Рівняння (3) висловлює теорему про зміну кількості руху механічної системи в диференціальній формі: похідна за часом від кількості руху механічної системи геометрично дорівнює головному вектору зовнішніх сил. діючих на цю систему.

Векторному рівняння (3) відповідають три рівняння в проекціях осі координат:

Рівняння (4) показують, що похідна за часом від проекції кількості руху механічної системи на будь-яку вісь дорівнює проекції головного вектора зовнішніх сил. діючих на систему, на ту ж вісь.

З рівнянь (3) і (4) випливає, що зміна кількості руху механічної системи викликається тільки зовнішніми силами.

З л е д с т в і я і з т е о р е м и;

1. Якщо головний вектор зовнішніх сил за розглянутій проміжок часу дорівнює нулю, то кількість руху механічної системи постійно.

З рівняння (3) випливає, що якщо

2. Якщо проекція головного вектора зовнішніх сил на будь-яку вісь за розглянутий проміжок часу дорівнює нулю, то проекція кількості руху механічної системи на цю вісь постійна.

Так. наприклад, при з першого рівняння (4)

Наслідки з теорем про зміну кількості руху механічної системи висловлюють закон збереження кількості руху системи.

Механічна система складається з прямокутної вертикальної плити 1 масою m1 = 18 кг, що рухається уздовж горизонтальних направляючих, і вантажу D масою m2 = 6 кг (рис. Д2.0-Д2.9, табл. Д2). У момент часу t0 = 0, коли швидкість плити U0 = 2 м / с, вантаж під дією внутрішніх сил починає рухатися по жолобу плити.

На рис 0-3 жолоб КЕ прямолінійний і при русі вантажу відстань S = АТ змінюється згідно із законом. а на малюнку 4-9 жолоб -Окружні радіуса R = 0,8 м і при русі вантажу кут змінюється згідно із законом. У таблиці Д2 ці залежності дані окремо для малюнків 0 і 1. для рис. 2 і 3 і.т.д. де S- виражено в метрах, # 966; - в радіанах, t - в секундах.

Вважаючи вантаж матеріальною точкою і нехтуючи усіма опорами, визначити залежність. тобто швидкість плити як функцію від часу.

Вказівки. Завдання Д2 на застосування теореми про зміну кількості руху системи. При вирішенні скласти рівняння, що виражає теорему, в проекції на горизонтальну вісь.

3.2.2. Приклад рішення задачі Д2. У центрі тяжкості А візки масою m1. рухається по гладкій горизонтальній площині, укріплений невагомий стержень АD довжиною з вантажем D масою m2 на кінці (Рис. Д2). У момент часу

t0 = 0. коли швидкість візки U = U0 стрижень АD починає обертатися навколо осі А згідно із законом.

Д а н о. m1 = 24 кг, m2 = 12 кг, U0 = 0,5 м / с, = 0,6 м, радий (t- в секундах). Про п р е д е л і т ь. -закон зміни швидкості візка.

Розглянемо механічну систему, що складається з візка і вантажу D. в довільному положенні. Зобразимо діючі на систему зовнішні сили: сили тяжіння Р1 і Р2 і реакції площині. Проведемо координатні осі Оху так, щоб вісь х була горизонтальна.

Щоб визначити U, скористаємося теоремою про зміну кількості руху системи Q в проекції на вісь х. Так як всі діючі на систему зовнішні сили вертикальні (рис. Д2), то і теорема дає

Для розглянутої механічної системи

- кількості руху візка і вантажу D відповідно (U - швидкість візки, VD - швидкість вантажу по відношенню до осей Оху) .Тоді з рівності (1) випливає, що

Для визначення VDx розглянемо рух вантажу D як складне, вважаючи його рух по відношенню до візка відносним (це рух, що здійснюється при обертанні стержня АD навколо осі А), а рух самого візка - переносним. тоді

Зобразивши цей вектор на малюнку Д2 з урахуванням знака. знайдемо. що

. Остаточно з рівності (3) отримаємо

(У цьому завданню величину можна знайти іншим шляхом, визначивши абсциссу вантажу D. для якої, як видно з малюнка Д2. Отримаємо.)

При знайденому значенні VDx рівність (2), якщо врахувати. що Ux = U, набуде вигляду

Постійну інтегрування С1 визначимо за початковими умовами: при t0 = 0 U = U0. Підстановка цих значенійв рівняння (5) дає і тоді з (5) отримаємо

Звідси знаходимо наступну залежність швидкості U від часу:

Підставивши сюди значення відповідних величин, знаходимо шукану залежність U від t.