Складання канонічного рівняння гіперболи за умовами, які її визначають

При складанні канонічного рівняння гіперболи важливо знати, де розташовані фокуси гіперболи.

4.8.1 Складання рівняння гіперболи за координатами його вершин (довжині дійсної осі) і координатами фокусів (фокальному відстані)

Завдання 31 Скласти рівняння гіперболи, якщо її вершини знаходяться в точках А (-3; 0) і С (3; 0), а фокальное відстань дорівнює 10.

1 Т.к.вершіни гіперболи, тоді рівняння гіперболи має вигляд:

2 Знайдемо довжину дійсної осі АС:

3 Знайдемо полуфокальное відстань

4 Знайдемо довжину уявної півосі за формулою:

5 Підставами a і b в рівняння гіперболи, отримаємо:

Завдання 32 Скласти рівняння гіперболи, фокуси якого знаходяться в точках F1 (0; -9) і F2 (0; 9), а дійсна вісь дорівнює

1Т.к.фокуси гіперболи, то дійсна вісь і рівняння гіперболи має

2 Знайдемо довжину дійсної осі:

за умовою завдання

3 Знайдемо фокальное відстань:

4 Знайдемо довжину уявної півосі за формулою:

5 Підставами a і b в рівняння гіперболи, отримаємо:

4.8.2 Складання рівняння гіперболи за координатами його вершин (довжині дійсної осі) і ексцентриситету

Завдання 33 Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі ОХ, якщо довжина дійсної осі дорівнює 12, а ексцентриситет.

1 Т.к.фокуси гіперболи, тоді рівняння гіперболи має вигляд:

2 Знайдемо довжину дійсної осі:

за умовою завдання

3 Знайдемо полуфокальное відстань

За умовою . скористаємося визначенням ексцентриситету.

Маємо: підставивши в отримане рівність значення а. отримаємо:

4 Знайдемо довжину уявної півосі за формулою:

5 Підставами a і b в рівняння гіперболи, отримаємо:

Завдання 34 Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі ох, якщо довжина її уявної осі дорівнює 8 і ексцентриситет.

1Т.к.фокуси гіперболи, тоді рівняння гіперболи має вигляд:

2 Знайдемо довжину уявної осі

За умовою завдання

3 Знайдемо довжину дійсної осі

За умовою . скористаємося визначенням ексцентриситету. де

Маємо:. Зведемо обидві частини рівності в квадрат

. Скористаємося основним властивістю пропорції:

4 Підставами a і b в рівняння гіперболи, отримаємо:

4.8.3 Складання рівняння гіперболи за координатами її фокусів (відстані між фокусами) і ексцентриситету

Завдання 35 Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі ох, відстань між фокусами дорівнює 6, а ексцентриситет.

1Т.к.фокуси гіперболи, то а дійсний вісь і рівняння гіперболи має вигляд:

2 Знайдемо полуфокальное відстань:

за умовою завдання

3 Знайдемо дійсну піввісь:

за умовою . скористаємося визначенням ексцентриситету.

Маємо: підставивши в отримане рівність значення с. отримаємо:

4 Знайдемо довжину уявної півосі за формулою:

5 Підставами a і b в рівняння гіперболи, отримаємо:

Завдання 36 Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої знаходяться в точках F1 (0; -5), F2 (0; 5), а ексцентриситет

1Т.к.фокуси гіперболи, то b-дійсний вісь і рівняння гіперболи має вигляд:

2 Знайдемо полуфокальное відстань:

за умовою завдання F1 (0; -5), F2 (0; 5), тоді

3 Знайдемо дійсну піввісь:

за умовою . скористаємося визначенням ексцентриситету.

Маємо: підставивши в отримане рівність значення с. отримаємо:

4 Знайдемо довжину уявної півосі за формулою:

5 Підставами a і b в рівняння гіперболи, отримаємо: