Симетрія коренів і оптимізація відповідей в тригонометрії
Коли ви вирішуєте квадратне рівняння щодо синуса або косинуса, то у відповіді виходить багато окремих множин, працювати з якими вкрай незручно. Тому сьогодні ми навчимося поєднувати їх, навчимося шукати симетрію в наборах коренів і спрощувати собі відповіді, а, отже, і роботу з множинами.
алгебраїчний підхід
Зараз ми будемо використовувати тільки алгебраїчний підхід. Все, що нам потрібно для вирішення - це формула косинуса подвійного кута:
Давайте трохи перетворимо її:
Але як ми знаємо, формулу косинуса подвійного кута можна переписати і по-іншому, а саме:
Давайте висловимо звідси $ 2 ^> x $:
Ось ці дві конструкції зараз ми і будемо використовувати.
Ось ми і отримали чотири набори коренів. Давайте відзначимо їх:
На перший погляд ця конструкція, всі ці обчислення можуть здатися дуже складними. Геометричний підхід, дійсно, розуміють не всі учні. Однак варто трохи потренуватися, і ви будете клацати квадратні рівняння як горішки.
Ключові моменти
Вирішуючи рівняння, квадратні щодо синуса або косинуса, ви постійно будете натикатися на громіздкі відповіді, працювати з якими (наприклад, для відбору коренів) абсолютно неможливо. Однак при бажанні можна значно спростити ці конструкції. І сьогодні ми поговоримо про два методи спрощення:
- Графічний - відзначаємо відповіді на тригонометричному колі і намагаємося знайти закономірності.
- Алгебраїчний - переходимо від квадратного рівняння до лінійного за допомогою формул зниження ступенів.
Ви можете використовувати будь-який прийом - відповідь вийде один і той же. Кому-то (наприклад, мені) зручніше відзначати точки на тригонометричному колі, а кому-то простіше раз і назавжди запам'ятати формули пониження степеня (які, до речі, зовсім нескладні).
Симетрія коренів на тригонометричному колі
Тут все банально. Вирішуємо рівність, відзначаємо отримані коріння на колі, а потім шукаємо якусь закономірність в їх розташуванні. Наприклад, коріння можуть відстояти один від одного на половину вихідного періоду, або розташовуватися симетрично відносно початку координат.
Формули пониження ступенів
Це унікальна фішка, яка працює тільки в тригонометричних рівняннях. Рівняння, квадратні щодо синуса або косинуса, легкому зводяться до рівносильним лінійним. Все, що для цього буде потрібно - формули косинуса подвійного кута:
\ [\ Cos 2x = 2 \ cos 2 \ text<>x-1; \]
- Безкоштовна підготовка до ЄДІ 7 простих, але дуже корисних уроків + домашнє завдання
