Ряди, енциклопедія Навколосвіт

то можна зробити висновок, що ряд (8) теж сходиться. Порівняння являє собою основний метод, що дозволяє встановлювати відповідність багатьох рядів, зіставляючи їх з найпростішими сходяться рядами. Іноді використовують більш специфічні ознаки збіжності (їх можна знайти в літературі з теорії рядів.) Наведемо ще кілька прикладів сходяться рядів з додатними членами:

Порівняння можна використовувати і для встановлення розходження ряду. Якщо ряд розходиться, то і ряд також розходиться, якщо 0 Ј bn Ј an.

Прикладами розходяться рядів можуть служити ряди

і, зокрема, тому що гармонійний ряд

У розбіжність цього ряду можна переконатися, порахувавши наступні часткові суми:

і т.д. Таким чином, часткові суми, які закінчуються членами 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ј. перевершують часткові суми розходиться ряду (6), і тому ряд (14) повинен розходитися.

Абсолютна і умовна збіжності.

До таких рядах, як

метод порівняння непридатний, оскільки члени цього ряду мають різні знаки. Якби всі члени ряду (15) були позитивними, то ми отримали б ряд (3), про який відомо, що він сходиться. Можна показати, що це означає також збіжність ряду (15). Коли зміною знаків негативних членів ряду на протилежні його можна перетворити в сходиться, кажуть, що вихідний ряд сходиться абсолютно.

Знакозмінний гармонійний ряд (1) не є абсолютно збіжним, тому що ряд (14), що складається з тих же, але тільки позитивних членів, не сходиться. Однак за допомогою спеціальних ознак збіжності для знакозмінних рядів можна показати, що ряд (1) в дійсності сходиться. Сходиться ряд, який не сходиться абсолютно, називається умовно збіжним.

Операції з рядами.

Виходячи з визначення сходиться ряду, легко показати, що його збіжність не порушується від викреслювання або приписування до нього кінцевого числа членів, а також від множення або ділення всіх членів ряду на одне і те ж число (зрозуміло, розподіл на 0 виключається). При будь-перестановці членів абсолютно сходиться ряду його збіжність не порушується, а сума не змінюється. Наприклад, так як сума ряду (2) дорівнює 1, сума ряду

також дорівнює 1, оскільки цей ряд виходить з ряду (2) перестановкою сусідніх членів (1-го члена з 2-м і т.д.). Можна як завгодно змінювати порядок проходження членів абсолютно сходиться ряду, аби в новому ряду присутні всі члени вихідного. З іншого боку, перестановка членів умовно сходиться ряду може змінити його суму і навіть зробити його розходяться. Більш того, члени умовно сходиться ряду завжди можна переставити так, що він буде сходитися до будь-якої заздалегідь заданої сумі.

Два сходяться ряду San і Sbn можна почленно складати (або віднімати), так що сума нового ряду (який також сходиться) складається із сум вихідних рядів, в наших позначеннях

При додаткових умовах, наприклад, якщо обидва ряди абсолютно сходяться, їх можна множити один на одного, як це робиться для кінцевих сум, причому виходить подвійний ряд (див. Нижче) буде сходитися до твору сум вихідних рядів.

Сумміруемость.

Незважаючи на те, що прийняте нами визначення збіжності нескінченного ряду здається природним, воно не є єдино можливим. Суму нескінченної низки можна визначити і іншими способами. Розглянемо, наприклад, ряд (7), який може бути записаний компактно у вигляді

Як ми вже говорили, його часткові суми поперемінно приймають значення 1 і 0, і тому ряд не сходиться. Але якщо ми утворюємо черзі попарні середні його часткових сум (поточний середній), тобто обчислимо спочатку середнє значення першої і другої часткових сум, потім середнє другий і третій, третій і четвертій і т.д. то кожне таке середнє дорівнюватиме 1/2, і тому межа попарних середніх також виявиться рівним 1/2. У цьому випадку говорять, що ряд підсумовуємо зазначеним методом і його сума дорівнює 1/2. Було запропоновано багато методів підсумовування, що дозволяють приписувати суми досить великим класам розходяться рядів і тим самим використовувати деякі розходяться ряди в обчисленнях. Для більшості цілей спосіб підсумовування корисний, проте, тільки в тому випадку, якщо стосовно що сходив ряду він дає його кінцеву суму.

Ряди з комплексними членами.

До сих пір ми мовчазно припускали, що маємо справу лише з дійсними числами, але все визначення та теореми застосовні і до рядів з комплексними числами (за винятком того, що суми, які можуть бути отримані при перестановці членів умовно збіжних рядів, не можуть приймати довільні значення).

Функціональні ряди.

Як ми вже відзначали, членами нескінченної низки можуть бути не тільки числа, а й функції, наприклад,

Сумою такого ряду також є функція, значення якої в кожній точці виходить як межа обчислених в цій точці часткових сум. На рис. 1 показані графіки декількох часткових сум і суми ряду (при x. Змінюваному від 0 до 1); sn (x) означає суму перших n членів. Сума ряду являє собою функцію, рівну 1 при 0 Ј x <1 и 0 при x = 1. Функциональный ряд может сходиться при одних значениях x и расходиться при других; в рассмотренном нами примере ряд сходится при –1Ј x <1 и расходится при других значения x .

Суму функціонального ряду можна розуміти по-різному. У деяких випадках важливіше знати, що часткові суми близькі (в тому чи іншому сенсі) до деякої функції на всьому інтервалі (a. B), ніж доводити збіжність або розбіжність ряду в окремих точках. Наприклад, позначивши часткову суму n -го порядку через sn (x), ми говоримо, що ряд сходиться в середньому квадратичному до суми s (x), якщо

Ряд може сходитися в середньому квадратичному, навіть якщо він не сходиться ні в одній окремій точці. Існують також і інші визначення збіжності функціонального ряду.

Деякі функціональні ряди отримали назву за тими функціями, які в них входять. Як приклад можна привести статечні ряди і їх суми: