Рівняння прямої на площині

Найпростішою з ліній є пряма. Різних способів завдання прямої відповідають в прямокутній системі координат різні види її рівнянь.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

П

усть на площині Оху задана довільна пряма, що не паралельна осі Оу. Її положення цілком визначається ординатою b точки Ν (0; b) перетину з віссю Оу і кутом α між віссю Ох і прямий (див. Рис.).

Під кутом α (0≤α≤π) нахилу прямої розуміється найменший кут, на який потрібно повернути навколо точки перетину прямої і осі Ох проти годинникової стрілки вісь Ох до її збігу з прямою.

Візьмемо на прямій довільну точку М (х; у) (див. Рис.). Проведемо через точку Ν вісь Νх ', паралельну осі Ох і однаково з нею спрямовану. Кут між віссю Νх 'і прямий дорівнює α. В системі Νх'у точка М має координати х і (у - b). З визначення тангенса кута слід рівність

якому задовольняють координати будь-якої точки М (х; у) прямої. Можна переконатися, що координати будь-якої точки Р (х; у), що лежить поза даною прямою, рівняння (10.2) не задовольняють.

Число k = tg α називається кутовим коефіцієнтом прямої, а рівняння (10.2) - рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

Якщо пряма проходить через початок координат, то b = 0 і, отже, рівняння цієї прямої буде мати вигляд y = kx.

Якщо пряма паралельна осі Ох, то α = 0, отже, k = tg α = 0 і рівняння (10.2) набуде вигляду y = b.

Якщо пряма паралельна осі Оу, то α = π / 2. рівняння (10.2) втрачає сенс, т. к. для неї кутовий коефіцієнт не існує. У цьому випадку рівняння прямої буде мати вигляд х = а. (10.3)

де а - абсциса точки перетину прямої з віссю Ох. Відзначимо, що рівняння (10.2) і (10.3) є рівняння першого ступеня.

Загальне рівняння прямої

Розглянемо рівняння першого ступеня щодо x і в у загальному вигляді:

де А, В, С - довільні числа, причому А і В не рівні нулю одночасно.

Покажемо, що рівняння (10.4) є рівняння прямої лінії. Можливі два випадки.

Якщо В = 0, то рівняння (10.4) має вигляд Ах + С = 0, причому А ≠ 0, т. Е. Х = -С / А. Це є рівняння прямої, паралельної осі Оу і проходить через точку (-С / А; 0).

Якщо В ≠ 0, то з рівняння (10.4) отримуємо у = -А / Вх-С / В. Це є рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k = tg α = -А / В.

Отже, рівняння (10.4) є рівняння прямої лінії, воно називається загальним рівнянням прямої.

Деякі окремі випадки загального рівняння прямої:

1) якщо А = 0, то рівняння приводиться до виду у = С / В. Це є рівняння прямої, паралельної осі Ох;

2) якщо В = 0, то пряма паралельна осі Оу;

3) якщо С = 0, то отримуємо Ах + Ву = 0. Рівнянню задовольняють координати точки О (0; 0), пряма проходить через початок координат.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку в даному напрямку

Підставляючи значення b в рівняння у = KХ + b. отримаємо шукане рівняння прямої:

Рівняння (10.5) з різними значеннями k називають також рівняннями пучка прямих з центром в точці М (хо; уо). З цього пучка можна визначити лише пряму, паралельну осі Оу.