Рішення систем тригонометричних рівнянь, контент-платформа

Рішення систем тригонометричних рівнянь

Рішення систем тригонометричних рівнянь не вимагає ніяких спеціальних прийомів або знань, що виходять за межі програми. Проте, ці завдання пов'язані з деякими специфічними труднощами. Одна з них пов'язана тим, що ці системи мають, як правило, нескінченно багато рішень. Тому правильний запис відповіді, відбір потрібних рішень і т. Д. Бувають утруднені необхідністю розглядати різні випадки або вирішувати допоміжні нерівності.

Зазвичай при вирішенні систем або відразу виключають одне з невідомих, висловлюючи його через інші з будь-якого рівняння системи, або намагаються звести тригонометричну систему до системи алгебраїчних рівнянь вдалим введенням нових невідомих або перетворенням рівнянь системи.

Найчастіше системи рівнянь вдається звести до систем щодо Cosy, Cos (x + y), Sin (x + y) і т. П ..

Наприклад, якщо ми привели вихідну систему до системи виду

то вона еквівалентна лінійній системі (1)

Звідки легко знайти, що (2)

Тут потрібно особливо відзначити, що абсолютно необхідно писати різні цілочисельні параметри при вирішенні незалежних найпростіших рівнянь, тобто в системі (1) числа n і k повинні бути позначені різними буквами. Якби ми використовували одну і ту ж букву, було б втрачено безліч рішень, а саме, безліч таких пар, що задаються рівняннями (2), що в їх визначенні.

Ще одна ідея, яка може використовуватися при вирішенні систем, цей вислів одного змінного через інше і підстановка в інше рівняння. Це можна зробити тільки в тому випадку, коли висловити одну змінну через іншу вдається досить просто.

Наприклад, якщо ми знайшли, що, і хочемо підставити замість x його вираз через у, то доведеться розглянути два випадки: 1) - непарній, т. Е. Для деякого Z: тоді.

2) - парне, т. Е. Для деякого: тоді. Якщо ж важко зрозуміти, як будуть себе вести тригонометричні функції при підстановці, краще її не застосовувати. Розглянемо деякі типи систем тригонометричних рівнянь і вкажемо найбільш уживані методи вирішення систем, грунтуючись на загальній теорії розв'язання систем рівнянь.

I.Сведеніе систем до виду

Скористаємося перетвореннями, що вони бережуть равносильность систем:

Склавши рівняння (1) і (2) і віднявши їх, отримуємо систему, рівносильну даній