Рішення рівнянь вищих ступенів

Досить часто розглядаються рівняння вищих ступенів з цілими коефіцієнтами. В цьому випадку можна спробувати знайти раціональні коріння рівняння, після чого можна розкласти на множники многочлен, що знаходиться в лівій частині вихідного рівняння, тим самим перейти до знаходження коренів рівняння, ступінь якого буде нижче.

У цій статті якраз розберемося з рішенням рівнянь вищих ступенів з цілими коефіцієнтами.

Рівняння вищих ступенів з цілими коефіцієнтами.

Будь-яке рівняння виду можна звести до наведеного рівняння тій же мірі домножимо обидві його частини на і виконавши заміну змінної виду:

Отримані коефіцієнти теж будуть цілими.

Таким чином, будемо вирішувати наведене рівняння ступеня n з цілими коефіцієнтами виду.

Знаходимо цілі корені рівняння.

Цілі коріння рівняння, i = 1, 2, ..., m (m - кількість цілих коренів рівняння) знаходяться серед дільників вільного члена. Тобто, в першу чергу виписуємо подільники вільного члена і підставляємо їх по черзі в вихідне рівність для перевірки. Перебираємо їх по черзі, поки не отримаємо тотожність. Як тільки тотожність отримано, то перший цілий корінь рівняння знайдений і рівняння постає у вигляді, де - корінь рівняння, а - частка від ділення на.

Продовжуємо підставляти виписані раніше подільники в рівняння, починаючи з (так як корені можуть повторюватися). Як тільки отримуємо тотожність, то корінь знайдений і рівняння постає у вигляді, де - частка від ділення на.

І так продовжуємо перебір подільників, починаючи з. В результаті знайдемо всі m цілих коренів рівняння і воно випаде у вигляді, де - многочлен ступеня n-m. Весь цей процес зручно проводити за схемою Горнера.

Дрібних коренів наведене рівняння з цілими коефіцієнтами мати не може.

Знаходимо залишилися коріння (ірраціональні і / або комплексні) з рівняння будь-яким способом.

Розберемо алгоритм на прикладі.