простір станів

Оскільки властивості системи виражаються значеннями її виходів, то стан системи можна визначити як вектор значень вихідних змінних Y = (y1. Ym). Ми вже наголошували (див. Питання №11), що серед складових вектора Y, крім безпосередньо вихідних змінних з'являються довільні від них.
Поведінка системи (її процес) можна зображувати різними способами. Наприклад, при m вихідних змінних можуть бути такі форми зображення процесу:
o у вигляді таблиці значень вихідних змінних для дискретних моментів часу t1, t2 ... tk;
o у вигляді m графіків в координатах yi - t, i = 1, ..., m;
o у вигляді графіка в m-мірної системі координат.
Зупинимося на останньому випадку. В m-мірної системі координат кожній точці відпо-яття певний стан системи.
Безліч можливих станів системи Y (у ∈ Y) розглядають як простір станів (або фазовий простір) системи, а координати цього простору називають фазовими координатами.
У фазовому просторі кожен його елемент повністю визначає стан системи.
Точка, що відповідає поточному стану системи, називається фазовою, або зображує, точкою.
Фазова траєкторія - це крива, яку описує фазову точка при зміні стану невозмущенной системи (при незмінних зовнішніх впливах).
Сукупність фазових траєкторій, відповідних всіляких початкових умов, називається фазовим портретом.
Фазовий портрет фіксує тільки напрямок швидкості фазового точки і, отже, відображає лише якісну картину динаміки.

Побудувати і наочно уявити фазовий портрет можна тільки на площині, т. Е. Коли фазовий простір є двовимірним. Тому метод фазового простору, який в разі двовимірного фазового простору називається методом фазової площини, ефективно використовується для дослідження систем другого порядку.
Фазової площиною називається координатна площину, в якій по осях координат відкладаються будь-які дві змінні (фазові координати), однозначно визначають стан системи.
Нерухомими (особливими або стаціонарними) називаються точки, положення яких на фазовому портреті з плином часу не зміняться. Особливі точки відображають положення одно-весия.

Використання фазовій площині цілком виправдано, оскільки стан системи як мінімум визначається двома змінними: значенням вихідної координати системи і швидкістю її зміни. Надалі будемо вважати, що на осі абсцис фазової площині відкладаються зна-чення вихідний координати y1 = y, а на осі ординат - швидкість її зміни y2 = y \ '(рис. 1).

Мал. 1. Приклад фазового портрета.

Тоді для фазових траєкторій невозмущенной системи справедливі такі властивості:
o через одну точку фазової площини проходить тільки одна траєкторія;
o у верхній півплощині зображає точка рухається зліва направо, а в нижній - відповід-повідно навпаки;
o на осі абсцис похідна dy2 / dy1 = ∞ всюди, за винятком точок рівноваги, тому фазові траєкторії перетинають вісь абсцис (в неособо точках) під прямим кутом.
Лінійна система має єдину особливу точку - початок координат. Нелінійні сі-стеми характеризуються великою різноманітністю фазових портретів - вони можуть мати кілька особливих точок.