предмет алгебри

Предметом алгебри є вивчення рівнянь і ряду питань, які розвинулися з теорії рівнянь. В даний час, коли математика розділилася на ряд спеціальних областей, до області алгебри відносять лише рівняння певного типу, так звані рівняння алгебри.

Історичні відомості про розвиток алгебри

Вавилон. Витоки алгебри сягають глибокої давнини. Уже близько 4000 років тому вавилонські вчені володіли рішенням квадратного рівняння і вирішували системи двох рівнянь. у тому числі одне - другого ступеня. За допомогою таких рівнянь вирішувалися різноманітні завдання землемерия, будівельного мистецтва і військової справи.

Літерні позначення, які ми застосовуємо в алгебрі, не вживалися вавилонянами; рівняння записувалися в словесній формі.

Греція. Перші скорочені позначення для невідомих величин зустрічаються у давньогрецького математика Діофанта (2-3 ст.н.е.). Невідоме Діофант називає «арітмос» (число), другий ступінь невідомого - «дюнаміс» (це слово має багато значень: сила, могутність, майно, ступінь. Третю ступінь Діофант називає «кюбос» (куб), четверту - «дюнамодюнаміс», п'яту - «дюнамокюбос», шосту - «кюбокюбос». Ці величини він позначає першими літерами відповідних найменувань (ар, дю, кю, ПДЮ, дкю, ккю). Відомі числа для відмінності від невідомих супроводжуються позначенням «мо» (монас - одиниця). складання втрачає позначається зовсім, для вирахування є скорочене про значення, рівність позначається «ис» (йсос - рівний).

Ні вавилоняни, ні греки не розглядали негативних чисел. рівняння

3ар6моіс2ар1мо (Зx + 6 = 2х + 1) Діофант називає «недоречним». Переносячи члени з однієї частини рівняння в іншу, Діофант каже, що доданок стає від'ємником, а від'ємник - складовою.

Узбецькі, таджицькі, перські та арабські математики збагатили алгебру низкою нових досягнень. Для рівнянь вищих ступенів вони вміли знаходити наближені значення коренів з дуже великою точністю. Так, знаменитий узбецький філософ, астроном і математик аль-Біруні (973-1048), родом теж з Хорезма, звів завдання про обчислення сторони правильного 9-кутника, вписаного в дану окружність, до кубічного рівняння х 3 = 1 + 3х і знайшов ( в 60-ковий дробах) наближене значення x = 1,52'45 "47 '" 13 "" (тобто одна ціла, 52 шістдесятих, 45 три тисячі шестисотих і т.д.). Великий таджицький поет і вчений Омар аль-Хайям (1036-1123) з Нішапура піддав систематичного вивчення рівняння третього ступеня. Ні йому, ні іншим математикам мусульманського світу не вдалося знайти вираження коренів кубічного рівняння через коефіцієнти. Але аль-Хайям розробив спосіб, за яким можна (геометрично) знайти число дійсних коренів кубічного рівняння (його самого цікавили тільки позитивні коріння).

Середньовічна Європа. У 12 столітті «Алгебра» аль-Хварізмі стала відома в Європі і була переведена на латинську мову. З цього часу починається розвиток алгебри в європейських країнах (спершу під сильним впливом науки східних народів). З'являються скорочені позначення невідомих, вирішується ряд нових завдань, пов'язаних з потребами торгівлі. Але істотного зрушення не було до 16 століття. У першій третині 16 століття італійці дель-Ферро і Тарталья знайшли правила для вирішення кубічних рівнянь виду x 3 = px + q; x 3 + px = q; x 3 + q = px. а Кардано в 1545г. показав, що будь-яке кубічне рівняння зводиться до одного з цих трьох; в цей же час Феррарі, учень Кардано, знайшов рішення рівняння 4-го ступеня.

Комплексні числа . Введення комплексних чисел також було пов'язано з відкриттям рішення кубічного рівняння.

І до цього відкриття при вирішенні квадратного рівняння x 2 + q = px доводилося стикатися з випадком, коли було потрібно витягти квадратний корінь з де величина (p / 2) 2 була менше ніж q. Але в такому випадку укладали, що рівняння не має рішень. Про введення нових (комплексних) чисел в цей час (коли навіть негативні числа вважалися «помилковими») не могло бути й думки. Але при вирішенні кубічного рівняння за правилом Тартальи виявилося, що без дій над уявними числами не можна отримати дійсний корінь. Пояснимо це докладніше. За правилом Тартальи корінь рівняння

Наприклад, для рівняння х 3 = 9х + 28 (р = 9; q = 28) маємо:

В обох випадках