Поняття фундаментальної послідовності

У цьому пункті наводиться важливий критерій сходящейся послідовності, тобто необхідна і достатня умова існування у неї кінцевого межі. При цьому важливість і оригінальність критерію полягає в тому, що при його перевірці не залучається значення границі. У формулюванні цього критерію і при роботі з ним використовується поняття фундаментальної послідовності.

Визначення фундаментальної послідовності

Числова послідовність називається фундаментальною послідовністю, якщо вона задовольняє наступній умові: для будь-якого числа існує такий номер. що для всіх і для всіх виконується нерівність

Ця умова називається умовою Коші. Його можна записати ще в наступному вигляді:

Геометрична інтерпретація умови Коші полягає в тому, що члени фундаментальної послідовності з досить великими номерами стають як завгодно близькими один до одного, так як відстань між будь-якими двома членами цієї послідовності менше будь-якого малого числа. якщо номери цих членів більше, ніж.

Теорема (критерій Коші збіжності послідовності)

Для того, щоб послідовність мала кінцевий межа, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла умові Коші, тобто була фундаментальною.

Нехай послідовність є збіжної і має своїм межею число. Тоді за визначенням кінцевого межі маємо, що

Тому якщо брати і. то

тобто при і. що і означає фундаментальність послідовності. Таким чином, доведено, що якщо послідовність сходиться, то вона є фундаментальною.

Нехай тепер послідовність є фундаментальною. Доведемо, що вона сходиться. Доказ проведемо в два етапи.

1 етап. Доведемо, що є обмеженою.

Дійсно, згідно з умовою Коші по можна вказати такий номер. що виконується нерівність при і. Зокрема, це нерівність має виконуватися при. тоді

тобто частина послідовності - з номерами є обмеженою. Тому очевидно, що є обмеженою і вся фундаментальна послідовність.

2 етап. Згідно з теоремою Больцано-Вейєрштрасса з обмеженою послідовності

завжди можна витягти сходящуюся підпослідовність. так що . де при.

Доведемо тепер, що число є межею всієї фундаментальної послідовності. Дійсно, для того ж числа запишемо умову Коші для:

Виберемо тепер в підпослідовності номера так, щоб мало місце нерівність (це можна зробити в силу того, що при). Тоді за умовою Коші при і при маємо, що

,

тобто на підставі умови Коші складена оцінка модуля різниці між членами послідовності і її сходящейся підпослідовності.

це означає, що існує кінцевий межа фундаментальної послідовності. тобто сходітся.v

Приклад (доказ збіжності послідовності за критерієм Коші)

Користуючись критерієм Коші, доведемо збіжність послідовності. якщо

для цього достатньо показати, що послідовність є фундаментальною, тобто що для неї виполнятеся умова Коші:

Зауважимо, що ця умова означає

і оцінимо для даної:

Далі використовуємо для оцінки останнього виразу очевидне нерівність

З урахуванням всіх зроблених оцінок отримуємо, що

Переходимо до межі в обох частинах цієї нерівності при:

але межа в лівій частині нерівності негативним бути не може, так як; тому залишається зробити висновок, що

Послідовність є фундаментальною, отже, сходиться.

5.5. Вправи для самостійної роботи

Запишіть послідовність. виділіть з неї сходяться підпослідовність, якщо обмежена, або нескінченно велику послідовність, якщо необмежена:

Використовуючи критерій Коші, доведіть збіжність послідовностей. якщо:

.

Відповіді до вправ для самостійної роботи

1) - обмежена тому при

. . ;

3) - обмежена, тому що

;

;

4) - необмежена, але не нескінченно велика