Плоский напружений стан і плоска деформація

Навіть в тому випадку, коли всередині пластини в наявності умова виникнення плоскої деформації, на поверхні її завжди виникає плоский напружений стан. У напрямку, перпендикулярному зовнішньої поверхні, не діють ніякі напруги, отже, на цій поверхні # 963; z = # 963; 3 = 0. Якщо деформація внутрішньої частини пластини відбувається в основному в одній площині, то у внутрішній її частині напруга # 963; 3 поступово збільшується від нуля (на поверхні пластини) до величини, яка визначається плоским деформується станом (див. [24]). Таким чином, зона пластичності поступово зменшується від розміру, визначеного плоским напруженим станом, до розміру, відповідного плоскої деформації, як це схематично проілюстровано на рис. 4.10.

Мал. 4.10. Просторове зображення зони пластичності

Напружений стан впливає на розмір зони пластичності. З іншого боку, розмір зони пластичності також впливає на напружений стан. Значні переміщення, що виникають в зоні пластичності, призводять до того, що в цю область надходить матеріал з усіх прилеглих областей. Коли зона пластичності велика в порівнянні з товщиною пластини, може виникнути вільна плинність в глиб пластини (рис. 4.11, а). На рис. 4.11, а показано перетин зони пластичності в разі, коли по всьому перерізу пластини має місце плоский напружений стан. Коли зона пластичності дуже мала, вільне протягом вглиб пластини виникнути не може: # 949; z залишається рівним нулю через що обмежує дії навколишнього пружного матеріалу. З цього можна зробити висновок, що маленьку ділянку пластичності відповідає плоска деформація, а великий - плоский напружений стан.

Мал. 4.11. Зв'язок між розміром зони пластичності і напружено-деформованим станом:
а - розмір зони пластичності по порядку величини дорівнює товщині пластини;
б - зона пластичності малого розміру;
в - зона пластичності проміжного розміру;
В - товщина; 1 - вільна плинність; 2 - обмежена плинність

Ставлення розміру зони пластичності до товщини є істотним чинником, що визначає напружено-деформований стан. Якщо розмір зони має той же порядок, що і товщина пластини, т. Е. Якщо rp / B прагне до одиниці, то може утворитися плоский напружений стан. Для того щоб в більшій частині внутрішньої області пластини виникло плоске деформований стан (щоб область плоского напруженого стану поблизу поверхні пластини поширювалася тільки на порівняно невелику частину внутрішньої області), це ставлення має бути істотно менше одиниці. Експериментально було показано (див. Гл. VII), що поведінка матеріалу при руйнуванні сколом є типовим для плоскої деформації, якщо rp / B порядку 0,025. Розмір зони пластичності пропорційний KI 2 / # 963; ys 2. При великій інтенсивності напруги і низькому межі плинності виникає велика зона пластичності. Тому для того, щоб в матеріалі з низьким межею плинності і високою міцністю (коли можлива висока інтенсивність напруги) встановилося переважно плоске деформований стан, потрібна велика товщина, ніж в низькоміцних матеріалі з високою межею плинності. З цієї причини для випробувань матеріалів на в'язкість руйнування з низьким # 963; ys і високим КIc необхідні пластини відповідно більшої товщини (див. Гл. VII).

Щоб дослідити різні деформативні властивості матеріалів при плоскому напруженому стані і при плоскій деформації, розглянемо кола Мора для тріщин типу I, зображені на рис. 4.12. Перш за все зазначимо, що при # 952; = 0 напруги # 963; у і # 963; x є головними напруженнями # 963; 1 і # 963; 2. поперечний напруга # 963; 2 завжди є головним напругою # 963; 3. При плоскому напруженому стані максимальне дотичне напруження # 964; max виникає в площинах, повернених щодо напрямків # 963; 1 і # 963; 3 на кут 45 °. якщо # 963; 1 = # 963; у і # 963; 3 = # 963; z = 0 (плоский напружений стан, # 952; = 0), то ці площини проходять через вісь х і складають з площиною x - z кут 45 °, як показано на рис. 4.12, б.

Мал. 4. 12. Площини максимального дотичного напруження для значень # 952 ;. близьких до нуля:
a - плоский напружений стан; б - плоска деформація

Пластична деформація, яка зовні проявляється як зрушення, виникає під дією дотичних напружень. Отже, для різних площин максимальних дотичних напружень зовнішній вигляд деформацій буде різним. На рис. 4.13 відображено два випадки. Ковзання уздовж площин, що проходять через вісь x і повернених відносно поверхні пластини на 45 °, призводить до утворення сдвиговой деформації типу 45 °, характерною для плоского напруженого стану (рис. 4.13, а). Ковзання уздовж площин, паралельних осі z. призводить до утворення деформації шарнірного типу (див. [20]), характерною для плоского деформованого стану (рис. 4.13, б).

Мал. 4.13. Зовнішній вигляд деформацій

У зв'язку з цим слід зазначити, що в площині # 952; = 0, строго кажучи, # 963; 1 = # 963; 2 = # 963; 3 (це випливає з рівнянь теорії пружності при # 957; = 0.5), внаслідок чого # 964; max = 0. Якщо # 952; слабо відрізняється від нуля, то справедливі такі міркування. Легко бачити, що в цьому випадку # 964; max для різних кутів # 952; приймає різні значення і ні один напрямок не визначає площину з максимальними дотичними напруженнями. зазвичай # 964; max визначають за формулою # 964; max = # 963; 1/2 для плоского напруженого стану і # 964; max = (# 963; 1 - # 963; 3) / 2 - в більшій частині зони пластичності при плоскій деформації. Підставляючи в наведені формули вираження (4.18) для головних напружень і проводячи диференціювання по # 952 ;. отримуємо кут # 952 ;. при якому дотичне напруження досягає свого максимального значення (# 964; max) max. Визначивши напрямки головних осей # 963; 1 і # 963; 2 в цій точці, можна знайти площину, в якій діє максимальне дотичне напруження. оскільки напруга # 963; 3 завжди направлено вздовж осі z. площині максимального дотичного напруження при плоскій деформації завжди перпендикулярні поверхні пластини, але можуть становити з площиною x - z кут, відмінний від 45 °.