Площа фігури, визначення, властивості, квадрованою фігури

Так уже склалося, що ми сприймаємо поняття площі як щось звичне, природне і дане спочатку. Постійно доводиться чути про площі різних об'єктів, будь то улюблений дачну ділянку, складське приміщення, квартира або будинок. При цьому дуже часто на питання «що ж таке площа» не відразу знаходиться відповідь.

У цій статті дамо визначення квадрованою області, озвучимо поняття площі фігури і властивості площі. У висновку зупинимося на математичному описі квадрованою фігур і наведемо кілька прикладів.

Навігація по сторінці.

Поняття площі, властивості площі.

Обчислення площі грунтується на таких основних властивостях площі.

• Позитивність. Площа є невід'ємне число.
• Адитивність. Площа замкнутої області, складених з декількох фігур, які не мають спільних внутрішніх точок, дорівнює сумі площ цих фігур.
• Інваріантність. Площі рівних фігур однакові.
• Нормированность. Площа квадрата, побудованого на одиничному відрізку, дорівнює одиниці.

За одиницю виміру площі приймемо площа елементарного квадрата зі стороною r.

Розглянемо обмежену фігуру G в прямокутній декартовій системі координат, її площа позначимо S (G). Побудуємо прямі, паралельні осі абсцис і осі ординат на відстані r один від одного. Ці прямі утворюють сітку і розбивають площину xOy на елементарні квадрати. Позначимо - фігуру, що складається з елементарних квадратів, повністю лежать всередині G і не стосуються її межі (червона заштрихованная область на малюнку), а - фігуру, що складається з елементарних квадратів, які мають з кордоном G хоча б одну спільну точку (синя заштрихованная область на малюнку), а - фігуру, яка є об'єднанням і (об'єднання заштрихованих синьою і червоною областей). Позначимо площі фігур і відповідно і, вони дорівнюють кількості складових їх елементарних квадратів.

Якщо нескінченно зменшувати довжину сторони елементарного квадрата r (робити сітку гущі), то отримаємо безліч значень площ і.

Безліч обмежена зверху, отже, має точну верхню грань, назвемо її внутрішньою площею фігури G. Безліч обмежена знизу, отже, має точну нижню грань, назвемо її зовнішньої площею фігури G.

Фігуру G. у якій зовнішня площа дорівнює внутрішньої, називають квадрованою і число є площа цієї фігури.

Рівність означає, що площа квадрованою фігури є однина, що володіє цією властивістю.

Площею кордону фігури G називають межа послідовності значень площі при. Для квадрованою фігури G площа кордону дорівнює нулю.

Слід зауважити, що поняття квадрованою можна ввести і інакше, наприклад, якщо розглядати вписані і описані багатокутні фігури (багатокутної фігурою називають фігуру, яку можна скласти з кінцевого числа трикутників без спільних внутрішніх точок).

Фігура G називається квадрованою. якщо для будь-якого як завгодно малого позитивного числа існують такі входить і яка охоплює багатокутні фігури P і Q. що і.

Як приклад можна привести коло з вписаними і описаними правильними -угольнікамі, де n - натуральне число.

Квадрованою фігури.

Зараз з'ясуємо як же виглядають і як задаються квадрованою фігури. Іншими словами, площа яких фігур нам належить знаходити.

Відразу скажемо, що фігури, з якими ми зазвичай зустрічаємося в геометрії (коло, еліпс, квадрат і т.п.), є квадрованою.

Відзначимо, що будь-яка квадрованою фігура обмежена. Тобто, ми не будемо говорити про площу необмежених фігур.

Об'єднання і перетин, а також різниця квадрованою фігур є квадрованою фігура.

Зараз перерахуємо види квадрованою фігур. з якими ми будемо найбільш часто зустрічатися при обчисленні площ.

Фігура квадрованою, якщо вона обмежена безперервними лініями, які є частинами графіків функцій y = f (x) і x = g (y). Нижче наведені приклади таких фігур. На першому малюнку область зверху обмежена параболою, знизу кривою, праворуч і ліворуч прямими x = 1 і x = 9. На другому малюнку в якості кордонів області виступають лінії.

Фігура квадрованою, якщо вона обмежена гладкими кривими. Тобто, частина кордону може бути задана параметрично. Функції і безперервні разом зі своїми похідними на деякому інтервалі і не мають самоперетинів, що рівносильно умові для будь-кого. Як приклад можна привести фігуру, обмежену осями координат і частю астроїди для.

Фігура квадрованою, якщо вона обмежена простими замкнутими кривими, початок яких збігається з кінцем (найчастіше надходять в полярній системі координат). Для прикладу наведемо один пелюстка фігури.

Площа - це єдина функція, певна на класі квадрованою фігур і має властивості позитивності, аддитивности, інваріантності і нормированности.